Ressort à lames

Nous nous contenterons ici d'un calcul de prédimensionnement (on dit parfois d'« équarrissage ») permettant de se faire une idée approximative de l'encombrement qu'aurait un véritable ressort à lames réalisé selon les règles de l'art. Une lame encastrée à une extrémité et chargée à l'autre peut évidemment servir de ressort mais les contraintes maximales règnent du côté de l'encastrement tandis que l'extrémité libre, qui a le même module de flexion I/v que l'autre, est peu sollicitée.

Pour mieux utiliser la matière, on cherche évidemment à se rapprocher d'une forme d'égale résistance qui est dans ce cas de figure une forme de largeur constante et de hauteur variant selon une loi parabolique (solution utilisée par exemple sur le TRAFIC de Renault), ou bien une lame triangulaire de hauteur constante, qui va nous servir de base de calcul.

Si b_o est la largeur de cette lame au niveau de l'encastrement et L sa longueur, la largeur de la lame au point M d'abscisse x s'écrit :

${\displaystyle b={\frac {b_{0}}{L}}(L-x)}$

Le moment de flexion en M est

${\displaystyle M_{f}=P\,(L-x)}$

La contrainte maximale de flexion est constante tout au long de la lame :

${\displaystyle \sigma _{maxi}={\frac {M_{f}}{\frac {I}{v}}}={\frac {P(L-x)}{{\frac {b\,e^{3}}{12}}\;{\frac {2}{e}}}}}$

${\displaystyle \sigma _{maxi}={\frac {P(L-x)}{\frac {b_{o}\,e^{2}\,(L-x)}{6\,L}}}={\frac {6\,P\,L}{b_{o}\,e^{2}}}}$

Elle découle du calcul précédent :

${\displaystyle \sigma _{maxi}={\frac {6\,P\,L}{b_{o}\,e^{2}}}\leq \sigma _{adm}}$

Dans l'hypothèse, classique mais ici irréaliste, des petits déplacements, nous pouvons calculer la flèche f de l'extrémité libre sous l'effet de la charge P :

${\displaystyle f={\frac {6\,P\,L^{3}}{E\,b_{o}\,e^{3}}}}$

Les deux conditions de résistance et de déformation imposent ensemble l'épaisseur maximale de la lame :

${\displaystyle \left.{\begin{matrix}{\sigma _{maxi}={\frac {6\,P\,L}{b_{o}\,e^{2}}}\leq \sigma _{adm}}\\\\{f={\frac {6\,P\,L^{3}}{E\,b_{o}\,e^{3}}}}\end{matrix}}\right\}\Rightarrow \,e\leq {\frac {\sigma _{adm}\,L^{2}}{E\,f}}}$

Une fois l'épaisseur arrondie à une valeur normalisée, il en résulte la détermination de b_o, qui donne généralement des dimensions prohibitives pour la lame.

Après avoir découpé la lame triangulaire comme indiqué ci-après, « ressoudé » les morceaux latéraux deux à deux, élargi la lame la plus longue (lame maîtresse), nous pouvons rassembler les lames élémentaires pour former un système étagé que nous supposerons équivalent au précédent.

En pratique, de nombreuses modifications interviennent et rendent très complexe l'étude d'un tel ressort : formes des extrémités des lames, frottements, systèmes d'attache, etc. Pour réaliser un paquet de lames à peu près « carré » au niveau des attaches, si n est le nombre de lames, il faut écrire :

${\displaystyle {\frac {b_{o}}{n}}\approx n\,e\quad \Rightarrow \quad n\approx {\sqrt {\frac {b_{o}}{e}}}}$

Si nous choisissons a priori un nombre de lames raisonnable, nous pouvons alors combiner les diverses formules pour trouver la longueur minimale du ressort, lequel sera alors le plus léger que l'on puisse réaliser.

Par exemple, nous pouvons poser b_o = n².e et reporter cette valeur dans les formules :

${\displaystyle {\frac {6\,P\,L}{b_{o}\,e^{2}}}={\frac {6\,P\,L}{n^{2}\,e^{3}}}\leq \sigma _{adm}}$ (résistance)

${\displaystyle f={\frac {6\,P\,L^{3}}{E\,b_{o}\,e^{3}}}={\frac {6\,P\,L^{3}}{E\,n^{2}\,e^{4}}}}$ (flèche)

En éliminant e, nous trouvons :

${\displaystyle L={\sqrt[{5}]{\frac {6\,P\,f^{3}\,E^{3}}{\sigma _{adm}^{4}\,n^{2}}}}}$

Ceci ne constitue certes pas LE calcul de détermination d'un ressort à lames, mais nous avons maintenant une idée de l'encombrement que pourrait avoir une solution de ce type.

Les formes réelles seront assez éloignées de la forme théorique d'égale résistance que nous venons de voir :

• la plus longue lame, ou lame maîtresse, doit avoir une section suffisante pour résister seule à l'effort tranchant, ainsi que pour permettre la liaison avec les éléments extérieurs. Son extrémité n'est donc jamais triangulaire mais toujours façonnée en fonction des besoins.

• pour éviter que le ressort « baille », c'est-à-dire que les lames décollent, on donne à ces dernières une courbure qui croît de la lame maîtresse, la plus longue, aux plus courtes. Il faut alors que les épaisseurs des lames aillent en décroissant, sinon on dépasserait de plus en plus largement la limite d'élasticité.

• l'extrémité des lames n'est jamais taillée en pointe, mais coupée droite, terminée en trapèze ou encore amincie et arrondie selon un profil parabolique.

• les lames ne sont généralement pas de section rectangulaire, elles portent des nervures qui les maintiennent alignées, comme le montre la figure ci-après. Il existe d'ailleurs des profilés normalisés spécialement formés pour la réalisation de ressorts à lames.

• la nécessité de brider les lames au centre impose d'augmenter la longueur du ressort car la partie bridée se trouve raidie.

• les attaches peuvent prendre des formes très diverses dites à œil droit (6), renversé (7), épaulé (8), droit à patte (9), épaulé à patte (10), appui à glissoir (11).

Si l'on ajoute la possibilité de réaliser des ressorts à lames étagées de toutes formes, symétriques ou non, à faible ou forte courbure, etc., il devient évident que les formules théoriques établies au début de ce paragraphe doivent être pour le moins revues et corrigées. En fait, chaque ressort nécessite une étude individualisée.

Le frottement entre les lames produit des pertes d'énergie notables (le travail de déformation du ressort est loin d'être intégralement restitué au moment de la détente) mais ces pertes contribuent à l'amortissement des vibrations, par exemple dans le cas des ressorts de suspension. Cependant, outre le fait qu'il fausse un peu plus les formules, le frottement est capable d'engendrer le phénomène de corrosion-frottement (poudre rouge) très destructeur. Pour éviter ou au moins pour freiner cette forme particulière d'usure, une lubrification protectrice est absolument indispensable et il ne faut surtout pas que l'état de surface des lames soit trop bon. Au contraire, il faut utiliser les lames « brutes de laminage ».

C'est à propos du ressort à lames que l'on comprend le plus facilement l'intérêt du traitement de préconformation, qui consiste à charger un ressort au-delà du point où il commence à prendre une déformation permanente pour, en quelque sorte, l'endurcir.

• en (a), une lame subit une déformation élastique, le diagramme des contraintes est rectiligne, la limite d'élasticité est atteinte, mais non dépassée, au niveau des couches du métal les plus éloignées de la fibre neutre.
• en (b), on a dépassé la limite d'élasticité dans les zones superficielles qui fluent alors sous charge ; dans ces zones la contrainte peut être considérée comme constante et égale à la limite d'élasticité du métal.
• en (c), on a supprimé la charge, il subsiste une contrainte résiduelle de compression dans la zone qui était tendue et une contrainte résiduelle de tension dans celle qui était comprimée. Le moment non nul créé par ces contraintes résiduelles « externes » est équilibré par d'autres contraintes « internes » qui apparaissent simultanément.
• en (d), on a de nouveau appliqué des efforts de flexion, lesquels donnent naissance à des contraintes réparties selon un diagramme dont la forme est très différente de celui décrit sur la figure (a). La contrainte résiduelle se déduit, en surface, de la contrainte qui serait normalement exercée en l'absence de préconformation, le ressort devient non seulement plus résistant en cas de surcharge, mais aussi moins sensible au phénomène de fatigue.