Relation antisymétrique

En mathématiques, une relation (binaire, interne) $R$ sur un ensemble $E$ est dite antisymétrique si elle vérifie :

(xRy\land yRx)\Rightarrow x=y

ou encore, si l'intersection de son graphe avec celui de sa relation réciproque est incluse dans la diagonale de $E$ .

On peut également ajouter la définition de l'antisymétrie d'une relation ρ à partir de la relation identité id et de sa relation réciproque :

$\rho \cap \rho ^{-1}\subseteq \mathrm {id}$

L'antisymétrie est parfois appelée « antisymétrie faible », par opposition à l'« antisymétrie forte » qu'est l'asymétrie (une relation asymétrique est une relation antisymétrique et antiréflexive).

Une relation ne peut pas être à la fois symétrique et antisymétrique, sauf si son graphe est inclus dans la diagonale (le graphe de l'égalité).

En général, un préordre n'est ni une relation d'équivalence, ni une relation d'ordre, c'est-à-dire qu'il n'est ni symétrique, ni antisymétrique.

Propriétés

En particulier, on peut noter la propriété suivante quant aux relations antisymétriques :

Soit σ et ρ, deux relations antisymétriques d'un ensemble A. Il vient alors que la relation $\sigma \cap \rho$ est également antisymétrique dans A.

Preuve de la propriété :

On veut montrer que : $(P)\Rightarrow (Q)$ , où $(P):{\begin{cases}\forall (x,y)\in A\times A,((x\sigma y)\land (y\sigma x))\Rightarrow x=y\\\forall (x,y)\in A\times A,((x\rho y)\land (y\rho x))\Rightarrow x=y\end{cases}}$ et $(Q):(x(\sigma \cap \rho )y\land y(\sigma \cap \rho )x)\Rightarrow x=y$ .

Preuve directe :

Considérons n'importe quelle paire $(x,y)$ de A x A telle que : $x(\rho \cap \sigma )y\land y(\rho \cap \sigma )x$ . Il vient de $x(\sigma \cap \rho )y$ que $x\sigma y$ et de $y(\sigma \cap \rho )x$ que $y\sigma x$ . Par antisymétrie de σ, on obtient : $x=y$ .

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