Recherche des deux points les plus rapprochés

En notant ${\displaystyle n}$ le nombre de points, l'algorithme naïf par recherche exhaustive a une complexité en temps en ${\displaystyle O(n^{2})}$. Il y a en effet ${\displaystyle {\frac {n(n-1)}{2}}}$ paires différentes à tester.

Il existe un algorithme basé sur diviser pour régner en ${\displaystyle O(n\log n)}$[2].

L'algorithme se déroule en plusieurs étapes[3]:

1. Préliminaire : créer deux tableaux ${\displaystyle T_{x}}$ et ${\displaystyle T_{y}}$ contenant les ${\displaystyle n}$ points à étudier. Trier ${\displaystyle T_{x}}$ et ${\displaystyle T_{y}}$ respectivement par abscisses croissantes et par ordonnées croissantes.
2. Diviser : Si ${\displaystyle n>3}$, trouver une droite verticale qui sépare l'ensemble de points en deux sous-ensembles tels que celui de gauche compte ${\displaystyle \left\lfloor {\frac {n}{2}}\right\rfloor }$ points et celui de droite ${\displaystyle n-\left\lfloor {\frac {n}{2}}\right\rfloor }$. Sinon faire une recherche exhaustive.
3. Régner : Résoudre récursivement les deux sous-problèmes obtenus, et récupérer le minimum ${\displaystyle \delta }$ des deux solutions.
4. Combiner : Comparer le minimum obtenu dans la résolution des deux sous-problèmes, ainsi que le minimum obtenu pour des paires dont chaque extrémité est issue d'un sous-problème distinct. C'est l'étape qui nécessite le plus d'instructions.

La résolution des deux sous-problèmes permet de déterminer que si la paire de points les plus proches a une extrémité de chaque côté de la droite de partition, alors la distance qui les sépare est inférieure à ${\displaystyle \delta }$. Il suffit donc de s'intéresser à la bande verticale de largeur ${\displaystyle 2\delta }$ centrée en la droite de partition. On procède comme suit[3]:

1. Créer un tableau ${\displaystyle T'_{y}}$ ne contenant que les points de ${\displaystyle T_{y}}$ compris dans la bande considérée triés selon les ordonnées croissantes.
2. Pour chaque point ${\displaystyle P}$ de la bande, calculer la distance qui sépare ${\displaystyle P}$ aux 7 points qui le suivent dans le tableau ${\displaystyle T'_{y}}$ et noter le minimum ${\displaystyle \delta '}$ de toutes les distances obtenues.
3. Si ${\displaystyle \delta '<\delta }$ renvoyer ${\displaystyle \delta '}$ sinon renvoyer ${\displaystyle \delta }$.

La terminaison de l'algorithme est assurée par le fait que l'on a choisi pour limite de récursivité ${\displaystyle n\leq 3}$, ce qui assure qu'aucun appel récursif n'est lancé sur un seul point[3].

Le point le plus important à vérifier pour établir la correction de l'algorithme est le fait que dans l'étape de combinaison des résultats des sous-problèmes, il suffit de calculer la distance entre chaque point et les sept suivants dans ${\displaystyle T'_{y}}$ pour trouver une éventuelle paire de points séparés d'une distance inférieure à ${\displaystyle \delta }$[3]. On suppose qu'il existe pour l'un des sous-problèmes récursifs une paire de points ${\displaystyle P\in {\mathtt {Gauche}}}$ et ${\displaystyle P'\in {\mathtt {Droite}}}$ séparés d'une distance inférieure à ${\displaystyle \delta }$ (où ${\displaystyle \delta }$ est le minimum des distances trouvées dans ${\displaystyle {\mathtt {Gauche}}}$ et ${\displaystyle {\mathtt {Droite}}}$ séparément). ${\displaystyle P}$ et ${\displaystyle P'}$ sont tous deux compris dans un même rectangle centré sur la droite de partition, de longueur ${\displaystyle 2\delta }$ et de hauteur ${\displaystyle \delta }$.

On cherche à savoir combien de points au maximum peuvent se trouver dans ce rectangle, sachant que deux points situés du même côté de la droite de partition sont distants d'au moins ${\displaystyle \delta }$. La réponse est 8 : un à chaque coin, et un couple de points superposés situé à chacun des milieux des grands côtés du rectangle[3]. Par conséquent au plus 7 autres points de la bande ont une ordonnée supérieure de moins de ${\displaystyle \delta }$ à l'ordonnée du point ${\displaystyle P}$. On peut donc trouver ${\displaystyle P'}$ en calculant au plus 7 distances depuis ${\displaystyle P}$. On peut donc trouver une paire minimale si elle existe au sein de la bande en calculant pour chacun de ses points les distances qui le séparent des 7 points qui le suivent dans ${\displaystyle T'_{y}}$[3].

La validité du reste de l'algorithme ne nécessite pas de preuve détaillée[3].

On commence par regarder la complexité des différentes étapes de l'algorithme :

• L'étape préliminaire de tri a une complexité ${\displaystyle O(n\log n)}$ (en utilisant par exemple le tri fusion) et n'est exécutée que deux fois.

• La partition de l'ensemble de points par une droite verticale nécessite le parcours des ${\displaystyle \left\lfloor {\frac {n}{2}}\right\rfloor }$ premières valeurs de ${\displaystyle T_{x}}$, c'est-à-dire ${\displaystyle O(n)}$ opérations.

• À chaque appel récursif, partage les tableaux ${\displaystyle T_{x}}$ et ${\displaystyle T_{y}}$ en deux sous-tableaux ne contenant que les points des sous-ensembles considérés. Cette découpe peut être effectuée avec une complexité ${\displaystyle O(n)}$ à chaque fois[3].

• L'étape de combinaison des résultats effectue au plus ${\displaystyle 7n}$ calculs de distance et a donc une complexité ${\displaystyle O(n)}$[3].

La complexité ${\displaystyle {\mathcal {C}}(n)}$ de l'algorithme vérifie donc la relation de récurrence ${\displaystyle {\mathcal {C}}(n)=2{\mathcal {C}}\left({\frac {n}{2}}\right)+O(n)}$. Par conséquent l'arbre des appels récursifs de l'algorithme est un arbre binaire qui comporte ${\displaystyle \log n}$ étages, et chaque étage a une complexité ${\displaystyle O(n)}$. Ainsi, par le master theorem, l'algorithme est en ${\displaystyle O(n\log n)}$[3].

On sait aussi que tout algorithme nécessite Ω(n log n) étapes de calcul pour trouver deux points les plus rapprochés[2].

Si on suppose que la fonction partie entière est calculable en temps constant, alors le problème se résout en O(n log log n)[4]. Si on s'autorise des algorithmes probabilistes (et la fonction partie entière calculable en temps constant), alors le problème se résout en O(n) en espérance[5]^,[6].

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