Algorithme de tri

On distingue les algorithmes procédant par comparaisons successives entre éléments, dits « tris par comparaisons », des algorithmes plus spécialisés faisant des hypothèses restrictives sur la structure des données à trier (par exemple, le tri par comptage, applicable uniquement si les données sont prises dans un ensemble borné connu à l'avance).

Les algorithmes de tri par comparaison lisent les entrées uniquement au moyen d'une fonction de comparaison binaire ou ternaire (lorsque le cas d'égalité est traité différemment). Il existe encore différents principes de fonctionnement au sein de cette classe : certains algorithmes de tri par comparaison procèdent par insertions successives, d'autres par fusions, d'autres encore par sélection.

En l'absence de précisions, on entend habituellement par « algorithme de tri » un algorithme de tri procédant par comparaisons.

• La complexité temporelle (en moyenne ou dans le pire des cas) mesure le nombre d'opérations élémentaires effectuées pour trier une collection d'éléments. C'est un critère majeur pour comparer les algorithmes de tri, puisque c'est une estimation directe du temps d'exécution de l'algorithme. Dans le cas des algorithmes de tri par comparaison, la complexité en temps est le plus souvent assimilable au nombre de comparaisons effectuées, la comparaison et l'échange éventuel de deux valeurs s'effectuant en temps constant.
• La complexité spatiale (en moyenne ou dans le pire des cas) représente, quant à elle, la quantité de mémoire dont va avoir besoin l'algorithme pour s'exécuter. Celle-ci peut dépendre, comme le temps d'exécution, de la taille de l'entrée. Il est fréquent que les complexités spatiales en moyenne et dans le pire des cas soient identiques. C'est souvent implicitement le cas lorsqu’une complexité est donnée sans indication supplémentaire.

La complexité en temps est souvent notée ${\displaystyle T}$ et est exprimée comme une fonction du nombre ${\displaystyle n}$ d'éléments à trier à l'aide des notations de Landau ${\displaystyle O}$ et ${\displaystyle \Theta }$.

Certains algorithmes de tri simples ont une complexité en temps quadratique, i.e. ${\displaystyle T(n)=O(n^{2})}$, tandis que d'autres, plus élaborés, ont une complexité quasi-linéaire : ${\displaystyle T(n)=O(n\log(n))}$.

La complexité temporelle en moyenne d’un algorithme basé sur une fonction de comparaison ne peut pas être meilleure que ${\displaystyle O(n\log(n))}$. Les tris qui ne demandent que ${\displaystyle O(n\log(n))}$ comparaisons en moyenne sont par conséquent dits optimaux. Ce résultat constitue une borne inférieure asymptotique, mais on montre également que le nombre exact de comparaisons nécessaires est minoré par ${\displaystyle \lceil \log _{2}(n!)\rceil }$.

Pour certains types de données (entiers, chaînes de caractères de taille bornée), il existe cependant des algorithmes plus efficaces au niveau du temps d'exécution, comme le tri comptage ou le tri par base. Ces algorithmes n'utilisent pas la comparaison entre éléments (la borne n·log(n) ne s'applique donc pas pour eux) mais nécessitent des hypothèses sur les objets à trier. Par exemple, le tri comptage et le tri par base s'appliquent à des entiers que l'on sait appartenir à l'ensemble [1, m] avec comme hypothèse supplémentaire pour le tri par base que m soit une puissance de 2 (c’est-à-dire de la forme 2^k).

Un tri est dit en place s'il n'utilise qu'un nombre très limité de variables et qu’il modifie directement la structure qu’il est en train de trier. Ceci nécessite l’utilisation d'une structure de donnée adaptée (un tableau par exemple). Ce caractère peut être très important si on ne dispose pas de beaucoup de mémoire.

Toutefois, on ne déplace pas, en général, les données elles-mêmes, mais on modifie seulement des références (ou pointeurs) vers ces dernières.

Un tri est dit stable s'il préserve l’ordonnancement initial des éléments que l'ordre considère comme égaux. Pour définir cette notion, il est nécessaire que la collection à trier soit ordonnancée d'une certaine manière (ce qui est souvent le cas pour beaucoup de structures de données, par exemple pour les listes ou les tableaux).

Les algorithmes de tri instables peuvent être retravaillés spécifiquement afin de les rendre stables, cependant cela peut être aux dépens de la rapidité et/ou peut nécessiter un espace mémoire supplémentaire.

Parmi les algorithmes listés plus bas, les tris stables sont : le tri à bulles, le tri par insertion et le tri fusion. Les autres algorithmes nécessitent ${\displaystyle O(n)}$ mémoire supplémentaire pour stocker l'ordre initial des éléments.

Un tri interne s'effectue entièrement en mémoire centrale tandis qu'un tri externe utilise des fichiers sur une mémoire de masse pour trier des volumes trop importants pour pouvoir tenir en mémoire centrale[1]. Certains types de tris, comme le tri fusion ou les tris par distribution, s'adaptent facilement à l'utilisation de mémoire externe. D'autres algorithmes, à l'inverse, accèdent aux données de telle sorte qu'ils ne se prêtent pas à cet usage car cela nécessiterait d'effectuer constamment des lectures/écritures entre les mémoires principale et externe.

Certains algorithmes permettent d'exploiter les capacités multitâches de la machine[2]. Notons également que certains algorithmes, notamment ceux qui fonctionnent par insertion, peuvent être lancés sans connaître l'intégralité des données à trier ; on peut alors trier et produire les données à trier en parallèle.

• Tri fusion (merge sort) − ${\displaystyle T(n)=O(n\log n)}$ dans tous les cas ; stable ; pas en place par défaut[3].

  Cet algorithme repose sur le principe « diviser pour régner ». Pour une entrée donnée, l'algorithme la divise en deux parties de tailles similaires, trie chacune d'entre elles en utilisant le même algorithme, puis fusionne les deux parties triées. Il se prête aussi bien à des implémentations sur listes que sur tableaux. Il est utilisé en particulier par l'algorithme hybride Timsort.

• Tri rapide (quicksort) − ${\displaystyle T(n)=O(n\log n)}$ en moyenne et dans le meilleur des cas, ${\displaystyle T(n)=O(n^{2})}$ dans le pire des cas ; instable ; en place dans la variante de Sedgewick.

  Cette méthode repose sur le principe « diviser pour régner ». Une valeur est choisie comme pivot et les éléments plus petits que le pivot sont dissociés, par échanges successifs, des éléments plus grands que le pivot ; chacun de ces deux sous-ensembles est ensuite trié de la même manière. On peut rendre la complexité quasiment indépendante des données en utilisant un pivot aléatoire ou en appliquant au tableau une permutation aléatoire avant de le trier.

• Tri par tas (heap sort) − ${\displaystyle T(n)=O(n\log n)}$ dans tous les cas ; en place mais instable.

  Il s'agit d'une amélioration du tri par sélection. L'idée est la même (insérer les éléments un à un dans une structure déjà triée), mais l'algorithme utilise une structure de tas, souvent implémentée au moyen d'un tableau. Cet algorithme fonctionne très bien en conjonction avec le tri rapide. En effet, il est efficace quand on soupçonne que les données sont proche du pire cas (quadratique) du tri rapide.^[pas clair]

• Introsort − ${\displaystyle T(n)=O(n\log n)}$ dans tous les cas ; instable mais en place.

  Il s'agit d'un hybride du tri rapide et du tri par tas.

• Tri arborescent − ${\displaystyle T(n)=O(n\log n)}$ en moyenne, ${\displaystyle T(n)=O(n^{2})}$ dans le pire des cas, ${\displaystyle T(n)=O(n)}$ dans le meilleur des cas. ; ni stable ni en place.

  L'idée est d'insérer les éléments un à un dans un arbre binaire de recherche, puis de lire l'arbre selon un parcours en profondeur. Ce tri est un des plus lents (parmi les tris rapides) et un des plus gourmands en mémoire à cause de la structure d'arbre binaire à manipuler. Il est possible de le rendre quasi-linéaire dans tous les cas^[Comment ?] en maintenant un arbre équilibré (c.f. Arbre AVL).

• Smoothsort − ${\displaystyle T(n)=O(n\log n)}$ en moyenne et dans le pire des cas, ${\displaystyle T(n)=O(n)}$ dans le meilleur des cas ; en place mais instable.

  Tri inspiré du tri par tas, mais qui utilise un arbre non inversé^[Quoi ?]. Ce tri est très rapide pour les ensembles déjà presque triés.

Pour un algorithme de tri donné instable, il est facile d'en obtenir une variante stable en utilisant un tableau supplémentaire pour mémoriser l'ordre initial des éléments. L'algorithme obtenu n'est toutefois pas en place.

• Tri de Shell (shell sort) − ${\displaystyle T(n)=O(n\log ^{2}n)}$ pour la série de pas ${\displaystyle 2^{p}3^{q}}$ et ${\displaystyle T(n)=O(n^{3/2})}$ pour la série de pas ${\displaystyle 2^{k}-1}$ ; instable ; en place.

  Ce tri repose sur le tri par insertion des sous-suites de l'entrée obtenues en prenant les éléments espacés d'un pas constant, pour une suite de pas prédéfinie. La complexité varie selon le choix de cette suite. On ne connaît pas de série donnant ${\displaystyle O(n\log n)}$.

• Tri fusion (merge sort) − ${\displaystyle T(n)=O(n\log n)}$ dans tous les cas ; stable ; pas en place par défaut[3].

  Cet algorithme repose sur le principe « diviser pour régner ». Pour une entrée donnée, l'algorithme la divise en deux parties de tailles similaires, trie chacune d'entre elles en utilisant le même algorithme, puis fusionne les deux parties triées. Il se prête aussi bien à des implémentations sur listes que sur tableaux. Il est utilisé en particulier par l'algorithme hybride Timsort.

• Tri rapide (quicksort) − ${\displaystyle T(n)=O(n\log n)}$ en moyenne et dans le meilleur des cas, ${\displaystyle T(n)=O(n^{2})}$ dans le pire des cas ; instable ; en place dans la variante de Sedgewick.

  Cette méthode repose sur le principe « diviser pour régner ». Une valeur est choisie comme pivot et les éléments plus petits que le pivot sont dissociés, par échanges successifs, des éléments plus grands que le pivot ; chacun de ces deux sous-ensembles est ensuite trié de la même manière. On peut rendre la complexité quasiment indépendante des données en utilisant un pivot aléatoire ou en appliquant au tableau une permutation aléatoire avant de le trier.

• Tri par tas (heap sort) − ${\displaystyle T(n)=O(n\log n)}$ dans tous les cas ; en place mais instable.

  Il s'agit d'une amélioration du tri par sélection. L'idée est la même (insérer les éléments un à un dans une structure déjà triée), mais l'algorithme utilise une structure de tas, souvent implémentée au moyen d'un tableau. Il est intéressant d'utiliser ce tri si l'on soupçonne que les données à trier seront souvent des cas quadratiques pour le tri rapide.

• Introsort − ${\displaystyle T(n)=O(n\log n)}$ dans tous les cas ; instable mais en place.

  Il s'agit d'un algorithme hybride utilisant les algorithmes de tri rapide et de tri par tas.

• Tri arborescent − ${\displaystyle T(n)=O(n\log n)}$ en moyenne, ${\displaystyle T(n)=O(n^{2})}$ dans le pire des cas, ${\displaystyle T(n)=O(n)}$ dans le meilleur des cas. ; ni stable ni en place.

  L'idée est d'insérer les éléments un à un dans un arbre binaire de recherche, puis de lire l'arbre selon un parcours en profondeur. Ce tri est un des plus lents (parmi les tris rapides) et un des plus gourmands en mémoire à cause de la structure d'arbre binaire à manipuler. Il est possible de le rendre quasi-linéaire dans tous les cas en maintenant un arbre équilibré (c.f. Arbre AVL).

• Smoothsort − ${\displaystyle T(n)=O(n\log n)}$ en moyenne et dans le pire des cas, ${\displaystyle T(n)=O(n)}$ dans le meilleur des cas ; en place mais instable.

  Tri inspiré du tri par tas, mais qui utilise un arbre non inversé. Ce tri est très rapide pour les ensembles déjà presque triés.

• Tri à peigne (comb sort) − ${\displaystyle T(n)=O(n)}$ dans le meilleur des cas, ${\displaystyle T(n)=O(n\log n)}$ en moyenne et ${\displaystyle T(n)=O(n^{2})}$ dans le pire des cas ; instable mais en place.

  Il s'agit d'une variante plus efficace du tri à bulles, ne comparant pas uniquement des éléments consécutifs. On peut dire qu'il est au tri à bulles ce que le tri de Shell est au tri par insertion.

Pour un algorithme de tri donné instable, il est facile d'en obtenir une variante stable en utilisant un tableau supplémentaire pour mémoriser l'ordre initial des éléments. L'algorithme obtenu n'est toutefois pas en place. ence en travaillant sur des listes).

• Il s'agit, à chaque itération, d'identifier le plus petit des éléments qui ne sont pas encore triés, et de l'échanger avec le premier de ceux-ci. Ce tri est rapide pour des petites entrées, et se code de manière concise.

• Tri par insertion − ${\displaystyle T(n)=O(n^{2})}$ en moyenne et dans le pire des cas, ${\displaystyle T(n)=O(n)}$ dans le meilleur des cas ; stable et en place.

  C'est le tri souvent utilisé naturellement pour trier des cartes à jouer : les valeurs sont insérées les unes après les autres dans une liste triée (initialement vide). C'est souvent le plus rapide et le plus utilisé pour trier des entrées de petite taille. Il est également efficace pour des entrées déjà presque triées.

• Tri à bulles − ${\displaystyle T(n)=O(n^{2})}$ en moyenne et dans le pire des cas, ${\displaystyle T(n)=O(n)}$ dans le meilleur des cas ; stable et en place.

  L'algorithme consiste à parcourir l'entrée du début à la fin et, pour chaque couple d'éléments consécutifs, à les intervertir s'ils sont mal ordonnés. Cette opération est répétée jusqu'à ce que la structure soit triée (aucune interversion lors du dernier passage). Cet algorithme est peu efficace et rarement utilisé en pratique ; son intérêt est principalement pédagogique.

• Tri cocktail − ${\displaystyle T(n)=O(n^{2})}$ en moyenne et dans le pire des cas, ${\displaystyle T(n)=O(n)}$ dans le meilleur des cas ; stable et en place.

  Il s'agit d'une variante du tri à bulles dans laquelle l'entrée est alternativement parcourue dans les deux sens. S'il permet de traiter de manière plus efficace quelques cas problématiques pour le tri à bulles, il reste essentiellement similaire à ce dernier et l'intérêt est encore une fois principalement pédagogique.

• Tri pair-impair − ${\displaystyle T(n)=O(n^{2})}$ en moyenne et dans le pire des cas, ${\displaystyle T(n)=O(n)}$ dans le meilleur des cas ; stable et en place.

  Il s'agit d'une variante du tri à bulles, qui procède en comparant successivement tous les éléments d'index pairs avec les éléments d'index impairs qui les suivent, puis inversement. On va ainsi commencer en comparant le premier élément au second, le troisième au quatrième, etc., puis l'on comparera le second élément au troisième, le quatrième au cinquième etc. L'opération est répétée jusqu'à ce que la structure soit triée.

Ces algorithmes ont une complexité asymptotique en ${\displaystyle O(n^{2})}$ et sont par conséquent considérés comme lents pour des entrées dont la taille est de plus de quelques dizaines d'éléments.

• Tri par sélection − ${\displaystyle T(n)=O(n^{2})}$ dans tous les cas ; sur place ; instable par défaut (peut être rendu stable, mais de préférence en travaillant sur des listes).

Ces algorithmes ont une complexité asymptotique moins bonne que ${\displaystyle O(n^{2})}$, qui est la complexité des algorithmes les plus intuitifs.

• Tri stupide − Ne termine pas dans le pire des cas, ${\displaystyle T(n)=O(n!)}$ en moyenne et ${\displaystyle T(n)=O(n)}$ dans le meilleur des cas ; instable mais en place.

  Le tri stupide consiste à vérifier si les éléments sont ordonnés et s'ils ne le sont pas à mélanger aléatoirement les éléments, puis à répéter l'opération.

• Tri faire-valoir (stooge sort) - ${\displaystyle T(n)=O(n^{\frac {\log 3}{\log 1,5}})}$ soit approximativement ${\displaystyle O(n^{2,71})}$ ; instable et pas en place^{[réf. nécessaire]}.

  Ce tri consiste à échanger si nécessaire le premier et le dernier élément, puis à trier récursivement les deux premiers tiers, puis les deux derniers, puis de nouveau les deux premiers du tableau.

• Tri comptage ou tri par dénombrement (counting sort) : Algorithme linéaire, T(n) = O(n), stable mais nécessite l'utilisation d'une seconde liste de même longueur que la liste à trier. Son utilisation relève de la condition que les valeurs à trier sont des entiers naturels dont on connaît les extrema ;
• Tri par base (radix sort) : c'est aussi un tri linéaire dans certaines conditions (moins restrictives que pour le tri par comptage), T(n) = O(n), stable mais nécessite aussi l'utilisation d'une seconde liste de même longueur que la liste à trier ;
• Tri par paquets (bucket sort) : Stable et en complexité linéaire -- ${\displaystyle T(n)=O(n)}$, part de l'hypothèse que les données à trier sont réparties de manière uniforme sur un intervalle réel ${\displaystyle [a,b[}$.

Les algorithmes de tri doivent aussi être adaptés en fonction des configurations informatiques sur lesquels ils sont utilisés. Dans les exemples cités plus haut, on suppose que toutes les données sont présentes en mémoire centrale (ou accessibles en mémoire virtuelle). La situation se complexifie si l'on veut trier des volumes de données supérieurs à la mémoire centrale disponible (ou si l'on cherche à améliorer le tri en optimisant l'utilisation de la hiérarchie de mémoire).

Ces algorithmes sont souvent basés sur une approche assez voisine de celle du tri fusion. Le principe est le suivant :

• découpage du volume de données à trier en sous-ensembles de taille inférieure à la mémoire rapide disponible ;
• tri de chaque sous-ensemble en mémoire centrale pour former des « monotonies » (sous-ensembles triés) ;
• interclassement des monotonies.

Afin de comparer différents algorithmes, il est important de prendre en compte la taille des données à trier ainsi que la quantité de mémoire vive disponible. Lorsqu'il n'y a plus assez de mémoire vive pour stocker les données, l'ordinateur aura recours à l'usage de mémoire externe, ce qui résulte en des temps d'accès nettement plus longs.

Dans cette situation, les algorithmes qui travaillent successivement sur des parties de plus petites tailles de l'entrée (qui seront par exemple fusionnées par la suite) auront tendance à mieux fonctionner que des algorithmes comme quicksort qui effectueront plus d'accès à la mémoire externe.

Il est également possible d'éviter de telles situations, par exemple en associant aux données à trier des clés plus petites, et en triant directement ces clés en mémoire vive. Lorsque la taille des données est vraiment conséquente, un algorithme de tri externe sera utilisé afin de minimiser le nombre d'accès à la mémoire externe.

• Thomas H. Cormen, Charles E. Leiserson, Ronald L. Rivest et Clifford Stein (trad. de l'anglais), Algorithmique : Cours avec 957 exercices et 158 problèmes, Dunod, 2010 [détail de l’édition]
• Christine Froidevaux, Marie-Claude Gaudel et Michèle Soria, Types de données et algorithmes, McGraw-Hill, 1990, 577 p. (ISBN 978-2-7042-1217-0, notice BnF n^o FRBNF35070753, lire en ligne), chap. 16

• Mémoire de synthèse sur les algorithmes de tri
• Dossier sur les algorithmes de tri et leur complexité (et implémentation en divers langages)
• Illustration dynamique de plusieurs tris (nécessite Java)
• (en) Illustration dynamique de plusieurs tris
• (en) « Sorting Algorithms Visualized », Visualisation de différents tris à l’aide de couleurs
• Sur le site Interstices, document sur les algorithmes de tri avec une applet Java

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