Nombre de Strahler

Le nombre de Strahler d'une arborescence[1] est une mesure numérique de sa complexité de branchements.

Cette propriété est utilisée, par exemple, en classification des réseaux hydrographiques des cours d'eau pour indiquer le niveau de complexité de son réseau d'affluents et de sous-affluents et en théorie de la compilation pour calculer le nombre de registres nécessaires au calcul d'une expression arithmétique[2].

Les premières utilisations de ce nombre se trouvent dans les travaux de Robert E. Horton (en) en 1945[3] ainsi que dans ceux d'Arthur Newell Strahler en 1952[4] et en 1957[5].

Définition

Selon la théorie des graphes, on peut attribuer un nombre de Strahler à tous les nœuds d'un arbre, depuis les extrémités vers la racine, comme suit :

si le nœud n'est que l'extrémité d'une arête / d'un arc, sans autre connexion, (= une feuille dans la théorie des graphes, ou = sans enfant), son nombre de Strahler est 1 ;
si le nœud a un arc ramifié avec le nombre de Strahler i, et que tous les autres arcs ramifiés ont des nombres de Strahler inférieurs à i, alors le nombre de Strahler de ce nœud est i à nouveau ;
si le nœud a au moins deux arcs ramifiés avec le nombre de Strahler i, et aucun arc ramifié ayant un plus grand nombre, le nombre de Strahler de ce nœud est alors i + 1.

Le nombre de Strahler de l'arborescence est le nombre entier de son nœud racine. Il est donc adimensionnel.

Tout nœud ayant le nombre de Strahler i doit donc avoir au moins :

deux arcs ramifiés descendants avec un nombre de Strahler i - 1 ;
quatre descendants avec un nombre de Strahler i - 2, etc. ;
2^{i - 1} « feuilles » descendantes.

Par conséquent, dans un arbre avec n nœuds, le plus grand nombre de Strahler possible est la partie entière de log₂(n). Cependant, à moins que l'arbre forme un arbre binaire complet, le nombre de Strahler sera inférieur à cette borne. Dans un arbre binaire à n nœuds, choisi uniformément au hasard parmi tous les arbres binaires possibles, l'indice prévu de la racine est, avec une forte probabilité, très proche de log₄(n).

Exemples

En hydrographie

Le nombre de Strahler est de 1 pour tout cours d'eau entre sa source et sa première confluence[6].

La racine du cours d'eau est soit la confluence où ce cours d'eau perd son nom, soit pour un fleuve, son embouchure. L'ordre d'un bassin versant est celui de son cours d'eau principal[6]. La classification peut dépendre de l'échelle de la carte utilisée[7]^,[8].

La classification des cours d'eau par le nombre de Strahler est ainsi très significative pour prendre en compte la structure et la densité du réseau hydrographique[9]. Elle reflète la variabilité des situations géographiques (exemple : selon la perméabilité du substrat rocheux du bassin versant) et pluviométriques par son lien étroit avec la quantité d’eau transportée en surface pendant les périodes de forts débits[9].

Le nombre de Strahler atteint :

Valeur a l'embouchure de cours d'eau
Nom	Nombre
Fleuve	Strahler[10]^,	Shreve
Amazone	12	Au moins 29
Nil	10	Au moins 22
Mississippi	10	Au moins 23
Ienissei	8	Au moins 18
Congo	7	Au moins 18
Mékong	7	Au moins 19
Indus	7	Au moins 19
Tamise	5	Au moins 11
Danube	6	Au moins 15
Tibre	5	Au moins 9
Rhin	7	Au moins 18
Aar	6	Au moins 17
Oise	6	Au moins 16
Marne	5	Au moins 14
Lot	5	Au moins 13
Loire	8	Au moins 16
Seine	7	Au moins 16
Garonne	9	Au moins 16
Dordogne	7	Au moins 14
Adour	7	Au moins 14
Meuse	7	Au moins 14
Rhône	9	Au moins 20

En informatique

Lors de la compilation d'un programme d'un langage de haut niveau en assembleur, le nombre minimum de registres nécessaires pour évaluer l'arbre d'une expression, est exactement le nombre de Strahler de cet arbre[11]^,[12].

Lien externe

Javier Esparza, Michael Luttenberger et Maximilian Schlund, « A Brief History of Strahler Numbers », sur Université technique de Munich, 2014

Voir aussi

Notes et références

Notes

Références

Régis Caloz et Claude Collet, Analyse spatiale de l'information géographique, Lausanne, Presses polytechniques et universitaires romandes, coll. « Science et ingénierie de l'environnement », 2011, 384 p. (ISBN 978-2-88074-902-6, lire en ligne), p. 199.
(en) Xavier Gérard Viennot, « A Strahler bijection between Dyck paths and planar trees », Discrete Mathematics, vol. 246, n^os 1-3,‎ 6 mars 2002, p. 317-329.
(en) R. E. Horton, « Erosional development of streams and their drainage basins: hydro-physical approach to quantitative morphology », Geological Society of America Bulletin, vol. 56, n^o 3,‎ 1945, p. 275-370.
(en) Arthur Newell Strahler, « Hypsometric (area-altitude) analysis of erosional topology », Geological Society of America Bulletin, vol. 63, n^o 11,‎ 1952, p. 1117-1142.
(en) Arthur Newell Strahler, « Quantitative analysis of watershed geomorphology », Transactions of the American Geophysical Union, vol. 8, n^o 6,‎ 1957, p. 913-920.
André Musy et Christophe Higy, Hydrologie : Une science de la nature, Lausanne, Presses polytechniques et universitaires romandes, coll. « Gérer l'environnement », 2004, 314 p. (ISBN 2-88074-546-2, lire en ligne), p. 88 et 89.
Denis Mercier, Géomorphologie de la France, Paris, Dunod, 2013, 272 p. (ISBN 978-2-10-059706-2 et 2-10-059706-X, lire en ligne), p. 248.
« Réseau hydrographique : ordre des cours d’eau pour le réseau hydrographique numérique au 1:25 000 de la Suisse », sur www.bafu.admin.ch.
Typologie des cours d’eau de France métropolitaine[PDF], p. 12, Cemagref.
(en) Colbert E. Cushing, Kenneth W. Cummins et G. Wayne Minshall, River and Stream, Londres, University of California press, coll. « Ecosystems of the world », 2006, 825 p. (ISBN 0-520-24567-9, lire en ligne), p. 390
Andreï Ershov, « On programming of arithmetic operations », Communications of the ACM, vol. 1, n^o 8,‎ 1958, p. 36 (DOI 10.1145/368892.368907).
Philippe Flajolet, Jean-Claude Raoult et Jean Vuillemin, « The number of registers required for evaluating arithmetic expressions », Theoretical Computer Science, vol. 9, n^o 1,‎ 1979, p. 99-125 (DOI 10.1016/0304-3975(79)90009-4).

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[1] Régis Caloz et Claude Collet, Analyse spatiale de l'information géographique, Lausanne, Presses polytechniques et universitaires romandes, coll. « Science et ingénierie de l'environnement », 2011, 384 p. (ISBN 978-2-88074-902-6, lire en ligne), p. 199.

[2] (en) Xavier Gérard Viennot, « A Strahler bijection between Dyck paths and planar trees », Discrete Mathematics, vol. 246, n^os 1-3,‎ 6 mars 2002, p. 317-329.

[3] (en) R. E. Horton, « Erosional development of streams and their drainage basins: hydro-physical approach to quantitative morphology », Geological Society of America Bulletin, vol. 56, n^o 3,‎ 1945, p. 275-370.

[4] (en) Arthur Newell Strahler, « Hypsometric (area-altitude) analysis of erosional topology », Geological Society of America Bulletin, vol. 63, n^o 11,‎ 1952, p. 1117-1142.

[5] (en) Arthur Newell Strahler, « Quantitative analysis of watershed geomorphology », Transactions of the American Geophysical Union, vol. 8, n^o 6,‎ 1957, p. 913-920.

[Hydrologie-6] André Musy et Christophe Higy, Hydrologie : Une science de la nature, Lausanne, Presses polytechniques et universitaires romandes, coll. « Gérer l'environnement », 2004, 314 p. (ISBN 2-88074-546-2, lire en ligne), p. 88 et 89.

[7] Denis Mercier, Géomorphologie de la France, Paris, Dunod, 2013, 272 p. (ISBN 978-2-10-059706-2 et 2-10-059706-X, lire en ligne), p. 248.

[StraSuisse-8] « Réseau hydrographique : ordre des cours d’eau pour le réseau hydrographique numérique au 1:25 000 de la Suisse », sur www.bafu.admin.ch.

[Typologie-9] Typologie des cours d’eau de France métropolitaine[PDF], p. 12, Cemagref.

[10] (en) Colbert E. Cushing, Kenneth W. Cummins et G. Wayne Minshall, River and Stream, Londres, University of California press, coll. « Ecosystems of the world », 2006, 825 p. (ISBN 0-520-24567-9, lire en ligne), p. 390

[11] Andreï Ershov, « On programming of arithmetic operations », Communications of the ACM, vol. 1, n^o 8,‎ 1958, p. 36 (DOI 10.1145/368892.368907).

[12] Philippe Flajolet, Jean-Claude Raoult et Jean Vuillemin, « The number of registers required for evaluating arithmetic expressions », Theoretical Computer Science, vol. 9, n^o 1,‎ 1979, p. 99-125 (DOI 10.1016/0304-3975(79)90009-4).