Raideur (mécanique)

La raideur, notée ${\displaystyle k}$, exprime la relation de proportionnalité entre la force ${\displaystyle F}$ appliquée en un point et la déflexion ${\displaystyle x}$ résultante en ce point :

${\displaystyle k={\frac {F}{x}}}$

où

${\displaystyle F}$ est la force appliquée ;

${\displaystyle x}$ est la déflexion de la structure au point considéré.

On peut parler de raideur en traction-compression, en flexion ou en cisaillement. Elles s'expriment en newtons par mètre (N/m) ou ses multiples, dans le Système international d'unités.

On définit de façon similaire la raideur angulaire ${\displaystyle k_{\theta }}$ par :

${\displaystyle k_{\theta }={\frac {M}{\theta }}}$

où :

${\displaystyle M}$ est le moment de force ;

${\displaystyle \theta }$ est l'angle de rotation induit par le moment de force.

On peut parler de raideur angulaire en torsion ou en flexion. Dans le Système international d'unités, la raideur angulaire s'exprime en newtons mètres par radian (N m rad⁻¹).

On peut exprimer la raideur sous forme matricielle, forces et déplacements étant des vecteurs (respectivement ${\displaystyle F}$ et ${\displaystyle x}$) :

${\displaystyle F_{i}=k_{ij}\circ x_{j}\,}$

Cette notation peut s'élargir aux six degrés de libertés par points : les trois translations et les trois rotations.

En calcul numérique, on utilise une matrice de raideur établissant la relation entre efforts et déplacements en différents points d'une structure ; son inverse est la matrice de souplesse.

La notion équivalente en mécanique des milieux continus est le tenseur des rigidités (exprimé en multiples du Pa) ; son inverse est le tenseur des souplesses (ou des complaisances).

La raideur exprime la notion d'élasticité en termes de mécanique du solide : efforts et déplacements. Le module d'élasticité exprime la même notion d'élasticité mais entre les termes continus de contraintes et de déformations.

Dans les cas géométriquement simples, on peut relier analytiquement ces grandeurs. Par exemple, dans le cas d'une barre de section constante chargée en traction-compression, la raideur s'exprime en fonction du module de Young :

${\displaystyle k={\frac {A\cdot E}{L}}\,}$

où

${\displaystyle A}$ est l'aire de la section de la barre ou de la poutre ;

${\displaystyle E}$ est le module d'élasticité en traction-compression (ou module de Young) ;

${\displaystyle L}$ est la longueur de la barre ou de la poutre.

L'énergie de déformation ${\displaystyle E}$ accumulée dans un élément de raideur ${\displaystyle k}$ vaut :

${\displaystyle E={\frac {1}{2}}k\cdot x^{2}={\frac {1}{2}}{\frac {F^{2}}{k}}\,}$.

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