Règle de d'Alembert

Soit (u_n) une suite de réels strictement positifs. On note ${\displaystyle \ell }$ et ${\displaystyle L}$ les limites inférieure et supérieure des quotients successifs :

${\displaystyle 0\leq \ell$ :=\liminf {\frac {u_{n+1}}{u_{n}}}\leq L:=\limsup {\frac {u_{n+1}}{u_{n}}}\leq +\infty } .

• Si ${\displaystyle L<1}$, alors la série de terme général u_n converge.
• Si ${\displaystyle \ell >1}$, alors la suite ne tend pas vers 0 (donc la série diverge grossièrement).

Si ${\displaystyle \ell \leq 1\leq L}$, on ne peut rien conclure : c'est le cas incertain de la règle de d'Alembert.

• La règle de d'Alembert se démontre directement[1], mais peut aussi se déduire de celle de Cauchy, grâce au lemme de Cesàro.
• Dans le cas incertain ${\displaystyle \ell \leq 1\leq L}$, on peut essayer la règle de Cauchy, plus précise.
• Lorsque la suite ${\displaystyle \left({\tfrac {u_{n+1}}{u_{n}}}\right)}$ admet une limite ${\displaystyle \lambda }$, l'énoncé se simplifie car ${\displaystyle \ell =\lambda =L}$. Dans le cas incertain ${\displaystyle \lambda =1}$, on peut essayer la règle de Raabe-Duhamel.
• La règle de d'Alembert peut être employée pour étudier la convergence d'une série à termes dans un espace vectoriel normé E, en analysant la série ∑u_n des normes. Si L < 1 et si E est complet (par exemple si E = ℝ ou ℂ), la série vectorielle est absolument convergente, tandis que si ℓ > 1, elle est grossièrement divergente.

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