Propriété virtuelle

En mathématiques, plus précisément en algèbre générale et dans l'étude des groupes, l'adverbe virtuellement est utilisé pour indiquer qu'une propriété est valide à indice fini près pour un groupe. Formellement, étant donné une propriété P un groupe G est dit virtuellement P s'il existe un sous-groupe H de G tel que H a la propriété P et H est d'indice fini dans G. Par exemple, tout groupe fini est virtuellement trivial.

En topologie une propriété virtuelle est une propriété valide à revêtement fini près. Un exemple célèbre d'une propriété virtuelle des variétés est la démonstration de la conjecture de Haken virtuelle en 2012 par Ian Agol qui lui a valu en 2016 l’attribution du Breakthrough Prize in Mathematics.

Terminologie

Des exemples de propriétés souvent étudiées virtuellement sont le fait d'être abélien, nilpotent, résoluble ou libre. Par exemple le théorème de Bieberbach affirme qu'un groupe cristallographique est virtuellement abélien, l'alternative de Tits donne une caractérisation des groupes linéaires virtuellement résolubles, le théorème de Gromov sur les groupes à croissance polynomiale affirme que les groupes de type fini avec un taux de croissance polynomial sont exactement les groupes virtuellement nilpotents de type fini.

La même terminologie peut aussi être employée lorsque G est un groupe donné et P est la propriété "être isomorphe à G'" : on dit d'un groupe virtuellement isomorphe à H qu'il est virtuellement H.

Par la correspondance entre revêtements et sous-groupes du groupe fondamental , cet usage peut aussi être transporté aux variétés ; ainsi, on dit qu'une variété est virtuellement P s'il existe un revêtement fini avec la propriété P.

Exemples

Virtuellement abélien

Les groupes suivants sont virtuellement abéliens :

Tout groupe abélien.
Tout produit semi-direct $N\rtimes H$ où N est abélien et H est fini. (Par exemple, tout groupe dihédral généralisé (en).)
Tout produit semi-direct $N\rtimes H$ où N est fini et H est abélien.
Tout groupe fini.

Virtuellement nilpotent

Tout groupe virtuellement abélien.
Tout groupe nilpotent.
Tout produit semi-direct $N\rtimes H$ où N est nilpotent et H est fini.
Tout produit semi-direct $N\rtimes H$ où N est fini et H est nilpotent.

Virtuellement libre

Tout Groupe libre.
Tout groupe virtuellement cyclique Any virtually cyclic group.
Tout produit semi-direct $N\rtimes H$ où N est libre et H est fini.
Tout produit semi-direct $N\rtimes H$ où N est fini et H est libre.
Tout produit libre H * K, où H et K sont tous deux finis. (Par exemple, le groupe modulaire $\operatorname {PSL} (2,\mathbb {Z} )$ .)
Il résulte du Théorème de Stallings sur les bouts d'un groupe (en) que tout groupe sans torsion virtuellement libre est libre.

Autre exemples

Le groupe libre $F_{2}$ à 2 générateurs est virtuellement $F_{n}$ pour tout $n\geq 2$ ; c'est une conséquence du théorème de Nielsen-Schreier et de la formule de Schreier.
Théorème d'Agol: Toute 3-variété hyperbolique (en) compacte, orientable, irréductible est virtuellement une variété de Haken (en). Elle possède également les propriétés virtuelles plus fortes suivantes : son premier nombre de Betti est virtuellement non-nul, et elle est virtuellement un tore d'homéomorphisme d'une surface.

Notes et références

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « virtually » (voir la liste des auteurs).

Hans Rudolf Schneebeli, « On virtual properties and group extensions », Mathematische Zeitschrift, vol. 159, n^o 2,‎ 1978, p. 159–167 (ISSN 0025-5874, DOI 10.1007/bf01214488, zbMATH 0358.20048)
John Stallings, « Groups of dimension 1 are locally free », Bull. Amer. Math. Soc., vol. 74,‎ 1968, p. 361-364.
Michael Gromow, « Groups of polynomial growth and expanding maps », Inst. Hautes Études Sci. Publ. Math., n^o 53,‎ 1981, p. 53-73.
Thomas Farrell et Lowell Jones, « The lower algebraic K-theory of virtually infinite cyclic groups », K-Theory, vol. 9, n^o 1,‎ 1995, p. 13-30.
Daniel Juan-Pineda et Ian Leary, « On classifying spaces for the family of virtually cyclic subgroups », dans Recent developments in algebraic topology, Amer. Math. Soc., Providence, RI,, coll. « Contemp. Math. » (n^o 407), 2006, p. 135-145.
Wolfgang Lück, « Survey on classifying spaces for families of subgroups », dans Infinite groups: geometric, combinatorial and dynamical aspects, Birkhäuser, Bâle, coll. « Progr. Math. » (n^o 248), 2005, p. 269-322.
Ian Agol, « The virtual Haken conjecture. With an appendix by Agol, Daniel Groves, and Jason Manning », Doc. Math., vol. 18,‎ 2013, p. 1045-1087 (Math Reviews 3104553).

Liens externes

Schreier index formula de PlanetMath.
Ian Agol, Virtual Properties of 3-Manifolds

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