Problème de Dirichlet

Dans cette partie, ${\displaystyle \Omega =D(0,1)}$, où ${\displaystyle D(0,1)}$ est le disque de centre 0 et de rayon 1. Il existe alors une solution au problème de Dirichlet, définie ci-dessous.

On a toujours ${\displaystyle G:\partial \Omega \to \mathbb {R} }$ continue sur ${\displaystyle \partial \Omega }$.

On pose : ${\displaystyle g:{\begin{matrix}\mathbb {R} &\to &\mathbb {R} \\\theta &\mapsto &G(\cos \theta ,\sin \theta )\end{matrix}}}$.

La solution est ${\displaystyle \Phi$ :\Omega \to \mathbb {R} } définie telle que :

${\displaystyle \Phi (r\cos \theta ,r\sin \theta )=\left\{{\begin{matrix}\sum _{n\in \mathbb {Z} }C_{n}(g)r^{\left|n\right|}e^{ni\theta },&{\mbox{si }}r<1\\g(\theta ),&{\mbox{si }}r=1\end{matrix}}\right.}$

où ${\displaystyle C_{n}(g)\,}$ est coefficient de la série de Fourier de la fonction g.

${\displaystyle C_{n}(g)={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }g(\theta )e^{-in\theta }d\theta }$

Preuve :

La continuité de la fonction ainsi que le fait qu'elle soit réelle découle des résultats sur les sommations de Poisson, liés aux séries de Fourier.

${\displaystyle \Phi \,}$ vérifie l'équation de Laplace car elle en fait la partie réelle d'une fonction analytique. On remarque en effet que ${\displaystyle \Phi \,}$ s'exprime comme la somme de deux fonctions analytiques et qu'elle est réelle. Or la partie réelle d'une fonction analytique vérifie toujours l'équation de Laplace.

Lorsque le problème admet une solution et que ${\displaystyle \Omega }$ est borné, celle-ci est unique.

Preuve :

Soient ${\displaystyle \Phi \,}$ et ${\displaystyle \Psi \,}$ deux fonctions définies de ${\displaystyle \Omega \,}$ sur ${\displaystyle \mathbb {R} }$ telles que ${\displaystyle \Phi \,}$ et ${\displaystyle \Psi \,}$ répondent au problème de Dirichlet.

On pose ${\displaystyle \omega =\Phi -\Psi \,}$

Calculons ${\displaystyle \int _{\Omega }\sum _{i=1}^{n}\left({\frac {\partial \omega }{\partial x_{i}}}\right)^{2}dA\quad }$ où ${\displaystyle dA\,}$ est un élément infinitésimal de ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

On obtient : ${\displaystyle \int _{\Omega }\left[\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial \left(\omega {\frac {\partial \omega }{\partial x_{i}}}\right)}{\partial x_{i}}}-\omega \nabla ^{2}\omega \right]dA}$

Or ${\displaystyle \nabla ^{2}\omega =\nabla ^{2}\Phi -\nabla ^{2}\Psi =0\,}$

On applique à présent le théorème de la divergence et obtient :

${\displaystyle \int _{\Omega }\sum _{i=1}^{n}\left({\frac {\partial \omega }{\partial x_{i}}}\right)^{2}dA=\int _{\partial \Omega }\omega \left[\left(\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial \omega }{\partial x_{i}}}s_{i}\right)\right]dS\quad }$ où ${\displaystyle {\vec {s}}=(s_{1},s_{2},...,s_{n})}$ est le vecteur normal à la surface ${\displaystyle \partial \Omega }$ et ${\displaystyle dS\,}$ un élément infinitésimal de ${\displaystyle \partial \Omega }$

${\displaystyle \int _{\Omega }\sum _{i=1}^{n}\left({\frac {\partial \omega }{\partial x_{i}}}\right)^{2}dA=0\quad }$ car ${\displaystyle \omega =0\,}$ sur ${\displaystyle \partial \Omega }$

Conclusion :

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\left({\frac {\partial \omega }{\partial x_{i}}}\right)^{2}=0}$

et donc ${\displaystyle \forall i=1,...,n\quad {\frac {\partial \omega }{\partial x_{i}}}=0}$, ${\displaystyle \omega \,}$ est constante, et par continuité ${\displaystyle \omega =0\quad \,}$ sur ${\displaystyle \Omega \,}$ car ${\displaystyle \omega =0\,}$ sur ${\displaystyle \partial \Omega }$

Dans le cas de ${\displaystyle \Omega }$ non borné, il peut y avoir des pathologies: typiquement, si l'on considère le plan ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ privé du disque unité. Les fonctions ${\displaystyle x}$ et ${\displaystyle {\frac {x}{x^{2}+y^{2}}}}$ coïncident sur la frontière du domaine et sont harmoniques.

On a l'équivalence suivante :

${\displaystyle \Phi {\mbox{ solution au probl}}{\grave {\mbox{e}}}{\mbox{me de Dirichlet}}\Leftrightarrow \left\{{\begin{matrix}\forall \Psi {\mbox{ continue et de classe }}{\mathcal {C}}^{n}{\mbox{ sur }}\Omega \ {\grave {a}}{\mbox{ valeur dans }}\mathbb {R} {\mbox{, prolongeant G}}\\\\\displaystyle \int _{\Omega }\sum _{i=1}^{n}\left({\frac {\partial \Psi }{\partial x_{i}}}\right)^{2}dA>\int _{\Omega }\sum _{i=1}^{n}\left({\frac {\partial \Phi }{\partial x_{i}}}\right)^{2}dA\end{matrix}}\right.}$

Le premier sens de l'équivalence se prouve de manière similaire à l'unicité de la solution.

Dirichlet avait déjà trouvé cette équivalence et il en avait déduit que le problème avait toujours une solution (c'est ce qu'on appelle le principe de Dirichlet). En effet, il lui semblait évident que l'on pouvait minimiser l'intégrale. Riemann et Gauss étaient de son avis. Weierstrass montra avec un contre-exemple que ce n'était pas toujours possible.