Polynôme trigonométrique

En mathématiques, un polynôme trigonométrique (ou polynôme trigonométrique complexe) $P$ est une fonction, définie par une somme d'exponentielles :

\forall t\in \mathbb {R} ,P\left(t\right)=\sum _{k=-n}^{k=+n}c_{k}e^{{\rm {i}}kt}

où les coefficients $\left(c_{n}\right)_{n\in \mathbb {N} }$ de $P$ sont complexes ou réels.

Somme de fonctions trigonométriques

En particulier, on peut exprimer tout polynôme trigonométrique comme somme de sinus et de cosinus :

\forall t\in \mathbb {R} ,P(t)=a_{0}+\sum _{k=1}^{n}\left(a_{k}\cos(kt)+b_{k}\sin(kt)\right)

Les deux familles de coefficients $(a k) k$ et $(b k) k$ peuvent être déduites de $(c k) k$ , et vice versa :

a_{0}=c_{0},b_{0}=0,\ \forall n\in \mathbb {N} ^{*},c_{n}={\frac {1}{2}}\left(a_{n}-{\rm {i}}b_{n}\right),c_{-n}={\frac {1}{2}}\left(a_{n}+{\rm {i}}b_{n}\right).

$P$ est une fonction réelle si et seulement si les $(a k) k$ et $(b k)$ sont réels. Les coefficients $(a k)$ sont tous nuls si et seulement si le polynôme est impair. De même, les coefficients $(b k)$ sont tous nuls si et seulement si le polynôme est pair.

Une somme infinie de coefficients trigonométriques est appelée série trigonométrique.

Théorème de Stone-Weierstrass

D'après le théorème de Stone-Weierstrass, pour toute fonction f continue et T-périodique, il existe une suite (T_n) de polynômes trigonométriques qui converge uniformément vers f.

Cette propriété essentielle est, au travers du théorème de Fejér, également une conséquence de la convergence uniforme des séries de Fourier pour de telles fonctions.

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