Paramètre d'échelle

Si une famille de densités de probabilité, dépendant du paramètre s est de la forme

${\displaystyle f_{s}(x)=f(x/s)/s,\!}$

où f est une densité, alors s est bien un paramètre d'échelle. Il dirige l'échelle ou encore la dispersion de la distribution. Si s est grand, alors la distribution est très étalée, si s est petit, la distribution est concentrée.

On peut exprimer ${\displaystyle f_{s}}$ en fonction de ${\displaystyle g(x)=x/s}$, comme suit:

${\displaystyle f_{s}(x)=f(x/s)\times 1/s=f(g(x))\times g'(x).\!}$

(« Paramètre d'intensité » est une traduction libre de rate parameter)

Certaines densités sont plutôt paramétrées selon un paramètre d'intensité à la place du paramètre d'échelle. Le premier est défini comme l'inverse du second. Par exemple, pour la loi exponentielle, d'échelle β et de densité

${\displaystyle f(x;\beta )={\frac {1}{\beta }}e^{-x/\beta },\;x\geq 0}$

pourrait être reformulée à l'aide d'une intensité λ de la manière suivante:

${\displaystyle f(x;\lambda )=\lambda e^{-\lambda x},\;x\geq 0.}$

• La loi normale possède deux paramètres: un paramètre de position μ et un paramètre d'échelle σ. En pratique, cette loi se voit aussi parametrée en fonction du carré de l'échelle, ${\displaystyle \sigma ^{2}}$, qui correspond à la variance de la distribution.
• La distribution Gamma est généralement paramétrée en un paramètre d'échelle ${\displaystyle \theta }$ ou de son inverse.
• Des cas spéciaux de distributions où le paramètre d'échelle vaut 1 sont nommés distributions standard sous certaines conditions. Par exemple, si le paramètre de position est égal à 0 et que le paramètre d'échelle vaut 1, la loi normale ainsi que la loi de Cauchy sont dites standard.

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