Paradoxe de Saint-Pétersbourg

Quelle est la mise initiale du joueur pour que le jeu soit équitable, c'est-à-dire pour que la mise initiale du joueur soit égale à son espérance de gain, et que ni la banque ni le joueur ne soient avantagés par ce jeu ? Autrement dit, si la loi des grands nombres s'appliquait, quel est le gain moyen espéré du joueur au cours d'une partie ?

Si face intervient dès le premier lancer, on gagne 1 euro. La probabilité pour que cela arrive est ½, ce qui donne une espérance de gain pour ce cas de 1/2× 1=1/2. Si face intervient pour la première fois au 2^e lancer, ce qui se produit avec une probabilité de ½×½=1/4, le gain est de 2 euros, ce qui aussi fait une espérance de gain de 1/2 euro pour ce cas. Plus généralement, si face apparaît pour la première fois au n-ième lancer, ce qui se produit avec une probabilité de ½ⁿ, le gain est de 2^(n-1) euros, d'où une espérance de gain de 1/2 euro pour ce n-ième coup.

L'espérance s'obtient en sommant les espérances de gain de tous les cas possibles. On somme une infinité de termes qui valent tous 1/2 : la somme est donc infinie. Si l'on pouvait appliquer la loi forte des grands nombres, on en déduirait que le jeu est donc favorable au joueur (défavorable à la banque) dans tous les cas, sauf si la mise initiale était infinie.

Pour Émile Borel, « Il y a, à mon avis, un très grand intérêt scientifique et social à ce que les principes fondamentaux du calcul des probabilités soient admis sans restriction par le plus de personnes possible »[1]. Le paradoxe illustre pour lui que, faute de cette capacité les gens ne sont pas en mesure de mesurer le gain, feront une mise inadéquate (trop basse dans ce jeu, ou peut-être trop haute dans un autre jeu) ou encore préféreront refuser un jeu qui leur semble trop complexe.

La notion d'utilité est présente dès l'époque de Bernoulli, mais ne se développe que vers le milieu du XIX^e siècle. Elle traduit le fait que chaque euro supplémentaire a d'autant moins de valeur que vous en avez déjà plus, qu'un euro de plus a moins d'importance si vous avez mille euros en poche qui si vous n'avez rien, que dix millions d'euros vous sont plus utiles qu'un million mais pas dix fois plus.

Pour Daniel Bernoulli, c'est l'utilité qui importe au joueur et non le gain, et cette utilité est décroissante, logarithmique, ce qui signifie que le doublement de la somme gagnée ne fait qu'accroitre d'une unité l'utilité. Dans le cadre du paradoxe, l'utilité prend alors une valeur finie et relativement faible, ce qui rend rationnel de faire une mise limitée.

Ce comportement d'apparence irrationnelle est à l'origine de la notion d'aversion au risque. Il a été formalisé sous la forme de fonction d'utilité et a donné naissance à la théorie de la décision[8].

En définitive, la décision de jouer ou de ne pas jouer à ce jeu est analogue à la décision d'investir ou non dans un produit financier : elle doit dépendre de la relation au risque de chaque individu, elle même dépendant de nombreux paramètres, comme la fortune de départ, la somme qu'on est prêt à perdre, la pression sociale, les usages alternatifs qu'on pourrait faire de la mise, le nombre de fois qu'il serait admis de jouer au jeu, etc. En finance, le ratio de Sharpe illustre que les décisions rationnelles sont fondées sur l'analyse du rapport bénéfice/risque, et non sur la seule analyse du premier de ces deux paramètres.

Ce paradoxe montre que la notion d'espérance n'est pas toujours suffisante en probabilités. Si le gain est ici « en moyenne » infini, il faut disposer de fonds eux aussi infinis et jouer une infinité de fois pour pouvoir bénéficier de gains à coup sûr.

En introduisant une fonction d'utilité qui ne croit pas trop vite, par exemple ${\displaystyle u(x)=\ln(x)}$, on définit une espérance d'utilité qui est finie,

${\displaystyle EU=\sum _{k=1}^{\infty }p_{k}u(2^{k-1})=\sum _{k=1}^{\infty }{\ln(2^{k-1}) \over {2^{k}}}=\ln(2)\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {k-1}{2^{k}}}=\ln(2)<\infty .}$

Le choix d'une telle fonction n'est qu'un exemple, couramment utilisé mais qui ne reflète pas vraiment la réalité de l'expérience en question. Si l'utilité d'un euro est de 1, l'utilité de 15 euros est très proche de 15. Ce n'est que pour des valeurs très grandes que l'utilité décroît.

Si on suppose que la banque ne dispose que d'une somme finie, les calculs sont les mêmes, à ceci près que la série n'est plus infinie. Par exemple, si on suppose qu'elle ne dispose « que » de 2^N euros, la banque ne pourra pas payer plus si face apparaît au bout de N+1 lancers. Pour obtenir l'espérance de gain moyen on somme toutes les probabilités de gain. L'espérance de gain est maintenant finie.

${\displaystyle E\ =\ \sum _{k=1}^{N}p_{k}2^{k-1}+\sum _{k=N+1}^{\infty }p_{k}2^{N}\ =\ \sum _{k=1}^{N}{1 \over 2}+2^{N}\left(1-\left(1-{1 \over {2^{N}}}\right)\right)\ =\ {N+2 \over 2},}$

Le jeu est équitable si la mise de départ est égale à (N+2)/2 euros. Une mise plus haute est défavorable au joueur, une mise moins haute est défavorable à la banque.

Ainsi, pour une valeur réaliste du capital de la banque, par exemple un milliard d'euros, la mise équitable sera de seize euros ; ce résultat lui aussi réaliste (et compatible avec l'intuition des joueurs) semble n'avoir été que rarement remarqué (c'est par exemple la solution que donne George Gamow à ce paradoxe dans Puzzle Math[9]).

Notons que l'espérance de gain est infinie même si les règles du jeu sont légèrement modifiées de façon à apparaître a priori encore plus avantageuses pour la banque. Soit ${\displaystyle \alpha ,\beta }$ fixés, le joueur ne reçoit le gain ${\displaystyle 2^{k-\alpha }}$ que si face apparait au bout de ${\displaystyle k>=\beta }$ lancers, si face apparaît avant le joueur ne touche rien.

${\displaystyle E=\sum _{k=\beta }^{\infty }{\frac {1}{2^{k}}}\cdot 2^{k-\alpha }=\sum _{k=\beta }^{\infty }{1 \over 2^{\alpha }}=\infty .}$

• Émile Borel, Probabilité et certitude, Presses universitaires de France, coll. « Que sais-je? » (n^o 445) (1^re éd. 1950), 136 p.
• Marc Oliver Rieger et Mei Wang, « Cumulative Prospect Theory and the St. Petersburg Paradox », Economic Theory, vol. 28,‎ 2006, p. 665–679

• Daniel Bernoulli

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