Optimisation convexe

Soit ${\displaystyle \mathbb {E} }$ un espace vectoriel. Un problème d'optimisation convexe[1] consiste à minimiser une fonction convexe ${\displaystyle f:\mathbb {E} \to {\bar {\mathbb {R} }}:=\mathbb {R} \cup \{-\infty ,+\infty \}}$ sur ${\displaystyle \mathbb {E} }$, ce que l'on écrit d'une des manières suivantes :

Si on note

le domaine (effectif) de ${\displaystyle f}$, le problème est identique à celui de minimiser ${\displaystyle f}$ sur ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ :

Si ${\displaystyle {\mathcal {A}}=\varnothing }$, c'est-à-dire si ${\displaystyle f\equiv +\infty }$, cette expression est encore valable puisque, par convention, ${\displaystyle \inf f(\varnothing )=+\infty }$. L'intérêt d'avoir une fonction ${\displaystyle f}$ pouvant prendre la valeur ${\displaystyle +\infty }$ est donc d'introduire des contraintes dans le problème de minimisation (on oblige la solution du problème à être dans ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$).

Une solution (globale) du problème ${\displaystyle \inf\{f(x):x\in \mathbb {E} \}}$ est un point ${\displaystyle {\bar {x}}\in \mathbb {E} }$ tel que

Clairement, si ${\displaystyle f}$ prend la valeur ${\displaystyle -\infty }$, on a ${\displaystyle f({\bar {x}})=-\infty }$ ; et si ${\displaystyle f}$ n'est pas identiquement égale à ${\displaystyle +\infty }$, on a ${\displaystyle f({\bar {x}})<+\infty }$.

Si ${\displaystyle \mathbb {E} }$ est un espace vectoriel topologique, ${\displaystyle {\bar {x}}}$ est une solution locale du problème ${\displaystyle \inf\{f(x):x\in \mathbb {E} \}}$ si

En réalité une solution locale est une solution globale au sens précédent.

Au lieu de donner la valeur infinie au critère en dehors de l'ensemble admissible, on peut spécifier explicitement les contraintes à réaliser. Le problème s'écrit par exemple comme suit

dans lequel on minimise une fonction ${\displaystyle f:x\in \mathbb {E} \mapsto f(x)\in \mathbb {R} }$ à valeurs finies et l'inconnue ${\displaystyle x\in \mathbb {E} }$ doit

• appartenir à un ensemble convexe ${\displaystyle C}$ de ${\displaystyle \mathbb {E} }$,
• vérifier une contrainte affine ${\displaystyle Ax=b}$ (${\displaystyle A:\mathbb {E} \to \mathbb {F} }$ est une application linéaire entre ${\displaystyle \mathbb {E} }$ et un autre espace vectoriel ${\displaystyle \mathbb {F} }$ et ${\displaystyle b\in \mathbb {F} }$) et
• vérifier un nombre fini de contraintes fonctionnelles convexes données par une fonction ${\displaystyle c:\mathbb {E} \to \mathbb {R} ^{m}}$ dont les ${\displaystyle m}$ composantes sont convexes et l'inégalité vectorielle ${\displaystyle c(x)\leqslant 0}$ doit se comprendre composante par composante (elle est équivalente aux ${\displaystyle m}$ contraintes d'inégalité ${\displaystyle c_{i}(x)\leqslant 0}$ pour ${\displaystyle i\in [\![1,m]\!]}$).

L'ensemble admissible de ce problème est convexe et s'écrit

Le problème est bien convexe puisqu'il s'agit de minimiser sur ${\displaystyle \mathbb {E} }$ la fonction ${\displaystyle {\tilde {f}}:x\in \mathbb {E} \mapsto {\tilde {f}}(x)\in {\bar {\mathbb {R} }}}$ définie par

qui est une fonction convexe.

La condition d'optimalité correspondant à la formulation générale du problème est la suivante. On note ${\displaystyle \partial f(x)}$ le sous-différentiel de ${\displaystyle f}$ en un point ${\displaystyle x}$ tel que ${\displaystyle f(x)\in \mathbb {R} }$.

On s'intéresse ici à des conditions d'optimalité pour le problème exprimé au moyen de contraintes fonctionnelles.