Nombre puissant

En mathématiques, un nombre puissant est un entier naturel m non nul tel que, pour chaque nombre premier p divisant m, p2 divise aussi m ou, ce qui est équivalent, m est un carré, un cube ou le produit d'un carré par un cube. Ces nombres ont été étudiés entre autres par Erdős, Szekeres et Golomb.

Les 26 premiers termes de cette suite d'entiers (suite A001694 de l'OEIS) sont :

1, 4, 8, 9, 16, 25, 27, 32, 36, 49, 64, 72, 81, 100, 108, 121, 125, 128, 144, 169, 196, 200, 216, 225, 243, 256.

Équivalence des deux définitions

Pour tout nombre premier p, notons kp l'exposant (éventuellement nul) de p dans la décomposition en facteurs premiers de m. La première définition équivaut à :

aucun kp n'est égal à 1

et la seconde à :

tous les kp sont de la forme 2up + 3vp avec up et vp entiers naturels.

La seconde implique donc clairement la première. La réciproque se vérifie facilement en prenant vp égal à 0 ou 1, selon la parité de kp.

Lien externe

(en) Eric W. Weisstein, « Powerful Number », sur MathWorld

  • Arithmétique et théorie des nombres
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