Nombre premier de Fibonacci

On ignore s'il existe une infinité de nombres de Fibonacci premiers. On sait que ${\displaystyle F_{n}}$ divise ${\displaystyle F_{kn}}$ (voir la propriété 6 dans le § « Propriétés » de l'article sur la suite de Fibonacci), et donc que, pour tout n > 4, si ${\displaystyle F_{n}}$ est premier, alors n est premier, mais la réciproque est fausse (${\displaystyle F_{19}=4181=37\times 113}$ est le premier contre-exemple non trivial). En octobre 2015, le plus grand nombre premier de Fibonacci connu est ${\displaystyle F_{81~839}}$[1] et le plus grand nombre de Fibonacci probablement premier connu est ${\displaystyle F_{2~904~353}}$[3], qui a 606 974 chiffres décimaux.

En 1964, Ronald Graham a donné une méthode pour construire des suites sans nombres premiers (en), c'est-à-dire des suites (T_n) vérifiant en même temps les trois conditions suivantes :

• T_n+2 = T_n+1 + T_n ;
• T_n et T_n+1 sont premiers entre eux (ils n'ont aucun diviseur commun) ;
• aucun T_n n'est premier.

Dans la suite qu'il proposait (suite A083103 de l'OEIS), les deux termes initiaux comportaient 34 chiffres décimaux[4]. En affinant sa méthode, on a réussi à construire de telles suites avec deux termes initiaux plus petits :

• 17 chiffres : suite  A083105 (Donald Knuth, 1990) ;
• 17 et 16 chiffres : suite  A083216 (Herbert Wilf, 1990) ;
• 12 et 11 chiffres : suite  A082411 (John Nicol, 1999) ;
• 12 et 11 chiffres, mais plus petits (Maxim Vsemirnov, 2004[5]).

• Cet article est partiellement ou en totalité issu de l'article intitulé « Suite de Fibonacci » (voir la liste des auteurs).

• Arithmétique et théorie des nombres