Nombre premier cubain

La première de ces équations est[2]^,[3] :

${\displaystyle p={\frac {x^{3}-y^{3}}{x-y}}{\text{, avec }}x=y+1{\text{ et }}y>0,}$

ce qui équivaut à :

${\displaystyle p=(y+1)^{3}-y^{3}={\frac {3(2y+1)^{2}+1}{4}}=3y^{2}+3y+1{\text{, avec }}y>0.}$

Ceci est la forme générale exacte d'un nombre hexagonal centré ; c'est-à-dire que tous ces nombres premiers cubains de la première sorte sont des nombres hexagonaux centrés.

Les premiers nombres premiers cubains provenant de cette première équation forment la suite A002407 de l'OEIS : 7, 19, 37, 61, 127, 271, 331, 397, 547, 631, etc.

En janvier 2006[4], le plus grand nombre premier cubain de cette première espèce comportait 65 537 chiffres et correspondait à y = 100 000 845^{4 096}.

La deuxième de ces équations est[3] :

${\displaystyle p={\frac {x^{3}-y^{3}}{x-y}}{\text{, avec }}x=y+2{\text{ et }}y>0,}$

ce qui équivaut à :

${\displaystyle p={\frac {(y+2)^{3}-y^{3}}{2}}=3(y+1)^{2}+1=3y^{2}+6y+4{\text{, avec }}y>0.}$

Les premiers nombres premiers cubains provenant de cette seconde équation forment la suite A002648 de l'OEIS : 13, 109, 193, 433, 769, 1201, etc.

Équation cubique

• Arithmétique et théorie des nombres