Module projectif

En mathématiques, un module projectif est un module P (à gauche par exemple) sur un anneau A tel que pour tout morphisme surjectif f : N → M entre deux A-modules (à gauche) et pour tout morphisme g : P → M, il existe un morphisme h : P → N tel que g = fh, c'est-à-dire tel que le diagramme suivant commute :

Autrement dit : P est projectif si pour tout module N, tout morphisme de P vers un quotient de N se factorise par N.

Propriétés
  • Les A-modules projectifs sont les objets projectifs de la catégorie abélienne des A-modules : P est projectif si et seulement si le foncteur Hom(P, ) (covariant, exact à gauche) est exact.
  • Un module est projectif si et seulement s'il est facteur direct dans un module libre.
  • Par conséquent, tout module projectif est plat. La réciproque est fausse, mais tout module plat de présentation finie est projectif.
  • Sur un anneau de Dedekind A, tout module projectif de type fini est isomorphe à An ⊕ I pour un idéal I de A.
  • Sur un anneau noethérien, un module de type fini est projectif si et seulement s'il est localement libre.
  • D'après le théorème de Quillen-Suslin (en), sur un anneau de polynômes A[X1,...,Xn] où A est un anneau principal (par exemple un corps commutatif), tout module projectif de type fini est libre[1],[2]. Cette propriété est également exacte si A est un anneau de Bézout commutatif ou un anneau de valuation et, dans le cas où A est un corps commutatif, lorsque l'anneau de polynômes ci-dessus est remplacé par l'anneau de polynômes de Laurent A[X1, …, Xn, Y1, …, Ym, Y1−1, …, Ym−1][3]. Voir également l'article Anneau d'Hermite.
  • Si A est un anneau commutatif noethérien sans idempotent non trivial (i.e. e2 = e implique que e = 0 ou 1), autrement dit, si son spectre est connexe pour la topologie de Zariski, tout module projectif non de type fini sur A est libre[4].
  • Sur un anneau local, tout module projectif est libre[5].

Rang

Pour tout module projectif de type fini P sur un anneau commutatif A, le rang du Ap-module libre Pp est appelé le rang de P en p, et P est dit de rang n si son rang en tout p vaut n[6].

Notes et références

Notes
  1. (en) Daniel Quillen, « Projective modules over polynomial rings », Invent. Math., vol. 36, no 1,‎ , p. 167-171 (DOI 10.1007/BF01390008)
  2. Daniel Ferrand, « Les modules projectifs de type fini sur un anneau de polynômes sur un corps sont libres », Séminaire Bourbaki, vol. 18, no 484,‎ , p. 202-221 (lire en ligne)
  3. (en) Tsit Yuen Lam, Serre's Problem on Projective Modules, Berlin, Springer, , 414 p. (ISBN 978-3-540-23317-6), p. 334 et Chap. V, Cor. 4.10
  4. (en) Hyman Bass, « Big projective modules are free », Illinois J. Math., vol. 7, no 1,‎ , p. 24-3, Corollary 4.5 (lire en ligne)
  5. (en) Irving Kaplansky, « Projective modules », Annals of Mathematics, vol. 68,‎ , p. 372-377
  6. (en) N. Bourbaki, Commutative Algebra : Chapters 1-7, Springer, , 625 p. (ISBN 978-3-540-64239-8, lire en ligne), p. 111-112, chap. II, § 5.3

Référence

Articles connexes
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