Master theorem de Ramanujan
En mathématiques, le « master theorem » de Ramanujan (dû à Srinivasa Ramanujan, et trouvé dans ses carnets après sa mort[1]) est une technique produisant une forme explicite de la transformée de Mellin d'une fonction analytique.
Ne doit pas être confondu avec le master theorem en informatique.
Énoncé du théorème
Sous des hypothèses qui ont été précisées par Hardy[2], et qui sont toujours vérifiées pour les applications qu'en fait Ramanujan, le théorème est le suivant :
Master theorem — Si est une fonction à valeurs complexes développable en série entière sous la forme
- ,
alors, sous certaines hypothèses sur la fonction , la transformée de Mellin de est donnée par
- ,
où est la fonction gamma.
Ramanujan l'a fréquemment utilisé pour calculer des intégrales définies et des séries entières.
Autres formes du théorème
Une autre forme du master theorem est :
qui revient à la précédente par la substitution , en utilisant l'équation fonctionnelle de la fonction gamma.
L'intégrale précédente est convergente pour (si vérifie des conditions de croissance convenables[3]).
Un résultat analogue avait été obtenu par J. W. L. Glaisher en 1874, mais n'avait guère attiré d'attention[4].
Démonstration de Hardy
Le théorème est faux en général ; une démonstration sous des hypothèses « naturelles » (mais qui ne sont pas les plus faibles nécessaires) fut donnée par Godfrey Harold Hardy[2], utilisant le théorème des résidus et le théorème d'inversion de Mellin (en).
Les hypothèses les plus simples pour la démonstration sont en effet celles-ci :
- pour
- est analytique pour
- a une décroissance exponentielle sur la droite verticale
Pour soit . La décroissance exponentielle de implique que g est analytique sur .
De plus le théorème des résidus donne que pour , . Donc g est en fait le prolongement analytique de f.
Enfin comme est bornée, par inversion de Mellin, on a :
Exemples
Application à la fonction zêta de Hurwitz
La série génératrice des polynômes de Bernoulli est :
Utilisant la fonction zêta de Hurwitz , on a pour .
Le master theorem permet alors d'obtenir[5] la représentation intégrale :
- , si .
Application à la fonction gamma
Utilisant la définition de Weierstrass :
- ,
équivalente à
- (où est la fonction zêta de Riemann), le master theorem donne alors :
- (pour ).
En particulier, pour et , on obtient
- ,
résultats hors de portée de logiciels de calcul formel tels que Mathematica 7[3].
Généralisations
Des versions de ce théorème en dimensions supérieures apparaissent en physique quantique (par le biais de diagrammes de Feynman)[6].
Notes et références
- (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Ramanujan's master theorem » (voir la liste des auteurs).
- (en) B. Berndt, Ramanujan’s Notebooks, Part I, New York, Springer-Verlag, .
- (en) Godfrey Harold Hardy, Ramanujan. Twelve Lectures on subjects suggested by his life and work, New York, Chelsea, , 236 p. (ISBN 0-8284-0136-5).
- (en) Tewodros Amdeberhan, Ivan Gonzalez, Marshall Harrison, Victor H. Moll et Armin Straub, « Ramanujan's Master Theorem », The Ramanujan Journal, vol. 29, nos 1–3, , p. 103–120 (DOI 10.1007/s11139-011-9333-y).
- (en) J. W. L. Glaisher, « A new formula in definite integrals », The London, Edinburgh, and Dublin Philosophical Magazine and Journal of Science, vol. 48, no 315, , p. 53–55.
- (en) O. Espinosa et V. Moll, « On some definite integrals involving the Hurwitz zeta function. Part 2 », The Ramanujan Journal, vol. 6, no 4, , p. 449–468 (DOI 10.1023/A:1021171500736).
- (en) Iván González, V. H. Moll et Iván Schmidt, « A generalized Ramanujan Master Theorem applied to the evaluation of Feynman diagrams ».
Liens externes
- (en) Eric W. Weisstein, « Ramanujan's Master Theorem », sur MathWorld
- (en) Une présentation du master theorem et de ses applications, sur le site de Armin Straub.
- Arithmétique et théorie des nombres
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