Master theorem de Ramanujan

La série génératrice des polynômes de Bernoulli ${\displaystyle B_{k}(x)\!}$ est :

${\displaystyle {\frac {ze^{xz}}{e^{z}-1}}=\sum _{k=0}^{\infty }B_{k}(x){\frac {z^{k}}{k!}}\!}$

Utilisant la fonction zêta de Hurwitz ${\displaystyle \zeta (s,a)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(n+a)^{s}}}\!}$, on a ${\displaystyle \zeta (1-n,a)=-{\frac {B_{n}(a)}{n}}\!}$ pour ${\displaystyle n\geq 1\!}$.

Le master theorem permet alors d'obtenir[5] la représentation intégrale :

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }x^{s-1}\left({\frac {e^{-ax}}{1-e^{-x}}}-{\frac {1}{x}}\right)\,dx=\Gamma (s)\zeta (s,a)\!}$, si ${\displaystyle 0<\operatorname {Re} (s)<1\!}$.

Utilisant la définition de Weierstrass :

${\displaystyle \Gamma (x)={\frac {e^{-\gamma x}}{x}}\prod _{n=1}^{\infty }\left(1+{\frac {x}{n}}\right)^{-1}e^{x/n}\!}$,

équivalente à

${\displaystyle \log \Gamma (1+x)=-\gamma x+\sum _{k=2}^{\infty }{\frac {\zeta (k)}{k}}(-x)^{k}\!}$ (où ${\displaystyle \zeta (k)\!}$ est la fonction zêta de Riemann), le master theorem donne alors :

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }x^{s-1}{\frac {\gamma x+\log \Gamma (1+x)}{x^{2}}}\,dx={\frac {\pi }{\sin(\pi s)}}{\frac {\zeta (2-s)}{2-s}}\!}$ (pour ${\displaystyle 0<\operatorname {Re} (s)<1\!}$).

En particulier, pour ${\displaystyle s={\frac {1}{2}}\!}$ et ${\displaystyle s={\frac {3}{4}}\!}$, on obtient

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {\gamma x+\log \Gamma (1+x)}{x^{5/2}}}\,dx={\frac {2\pi }{3}}\zeta \left({\frac {3}{2}}\right)}$

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {\gamma x+\log \Gamma (1+x)}{x^{9/4}}}\,dx={\sqrt {2}}{\frac {4\pi }{5}}\zeta \left({\frac {5}{4}}\right)}$,

résultats hors de portée de logiciels de calcul formel tels que Mathematica 7[3].