Masse fluide en rotation
Soit un fluide incompressible, autogravitant, en rotation, de masse M, de masse volumique . Le problème est de trouver sa forme.
Pour une rotation faible, la solution de Maclaurin (1742) est la bonne : un ellipsoïde de révolution aplati.
Mais Jacobi découvre en 1834 une nouvelle famille de solutions : un ellipsoïde à trois axes différents.
Dès lors, le problème devient l'objet de recherches mathématiques intenses (Meyer, Riemann, Poincaré, Cartan,...) jusqu'à nos jours.
Historiquement, Darwin-fils avait pensé que lors de la formation de la Terre, la "goutte" en rotation rapide avait pu se séparer donnant naissance à la Lune. Ce scénario est écarté aujourd'hui.
La solution de Maclaurin
Soit un ellipsoïde de révolution aplati, d'aplatissement f = (a-b)/a, d'excentricité e.
La rotation est caractérisée par le paramètre m = . Comme le volume est donné, V = , m est proportionnel à
La solution donnée par Maclaurin est :
.
A dire vrai, il vaut mieux considérer que le moment cinétique L = est donné. Alors L =f(e) est monotone.
La solution de Jacobi
Jacobi montrera que si L augmente, l'ellipsoïde de révolution est instable ; il faut lui substituer un ellipsoïde triaxial (a>b>c) , avec c/a = 0.58 , et b/a = 1 au point de bifurcation : la symétrie de révolution est brisée.
La valeur de e = correspondante est : 0. 812 670 ...
Pour des valeurs plus importantes de L , b diminue , ainsi que c , pour atteindre les valeurs b/a = 0.43 et c/a = 0.34 .
Au-delà, la solution bifurque à nouveau : solutions "piriformes" de Poincaré , etc.
Voir aussi
Bibliographie
- Chandrasekhar: ellipsoidal figures of equilibrium (Dover, 1987)
- Landau, tome 2, loi de Newton(§99).
- Pierre-Simon de Laplace, Traité de mécanique céleste, tome premier, p. 91-110, Imprimerie de Crapelet, Paris, An VII Texte
- Henri Poincaré, Sur l'équilibre d'une masse fluide animée d'un mouvement de rotation, Acta mathematica, 1885 Texte
- Henri Poincaré, Les formes d'équilibre d'une masse fluide en rotation, Revue générale des sciences pures et appliquées, no 23, Texte
- B Globa-Mikhaïenko, Sur quelques nouvelles figures d'équilibre 'une masse fluide en rotation, tome 2, p. 1-78, Journal de mathématiques pures et appliquées, 1916 Texte
- B Globa-Mikhaïenko, Thèse : Contribution à l'étude des mouvements d'une masse en fluide en mouvement, Gauthier-Villars et Cie éditeurs, Paris, 1920 Texte
- Pierre Dive, Rotations internes des astres fluides, Librairie scientifique Albert Blanchard, Paris, 1930 Texte
- S. Chandrasekhar, Ellipsoidal figures of equilibrium : an historical accounts, p. 251-265, Communications on pure and applied mathematics, Vol. XX, 1967 Texte
- S. Chandrasekhar, The Equilibrium and the Stability of the Dedekind Ellipsoids, p. 1043-1054, Astrophysical Journal, vol. 141, 1965 Texte
