Modèle d'évaluation des actifs financiers

Le MEDAF ou capital asset pricing model explique la réalisation de l'équilibre du marché par l'offre et la demande pour chaque titre. Il permet de déterminer la rentabilité d'un actif risqué par son risque systématique.

Les transactions cesseront lorsque les opérateurs auront un portefeuille identique.

La formule est une fonction :

• de la mesure du risque systématique de l'actif, c'est-à-dire au risque non diversifiable (l'investisseur diversifiera son portefeuille directement sur le marché), noté ${\displaystyle \beta _{actif}\,}$ (coefficient bêta de l'actif) ;
• de la rentabilité espérée sur le marché, notée ${\displaystyle E\left(R_{M}\right)}$ ;
• du taux d'intérêt sans risque (généralement des emprunts d'État ou de la banque centrale), noté ${\displaystyle R_{F}\,}$.

${\displaystyle E(R_{actif})=R_{F}+\beta _{actif}\cdot [E(R_{M})-R_{F}]}$

${\displaystyle [E(R_{M})-R_{F}]\,}$ représente la prime de risque du marché, c'est-à-dire le surplus de rentabilité exigé par les investisseurs lorsque ces derniers placent leur argent sur le marché, plutôt que dans un actif sans risque.

Le ${\displaystyle \beta _{actif}\,}$ est la volatilité de la rentabilité de l'actif considéré rapportée à celle du marché. Mathématiquement parlant, elle correspond au rapport entre la covariance de la rentabilité de l'actif et de la rentabilité du marché et la variance de la rentabilité du marché.

${\displaystyle \beta _{actif}={\frac {cov(R_{M},R_{actif})}{var(R_{M})}}}$

Dans le modèle MEDAF (ou CAPM), on peut montrer que ce coefficient correspond à l'élasticité du cours du titre par rapport à l'indice boursier représentant le marché.

${\displaystyle \beta _{actif}={\frac {\partial \sigma _{actif}}{\partial \sigma _{M}}}\cdot {\frac {\sigma _{actif}}{\sigma _{M}}}}$

où ${\displaystyle \sigma _{M}\,}$ représente le risque du marché (l'écart-type de ${\displaystyle R_{M}\,}$) et ${\displaystyle \sigma _{actif}\,}$ le risque de l'actif (l'écart-type de la rentabilité attendue de l'actif). Ainsi, un actif représentant le marché aura un ${\displaystyle \beta _{actif}\,}$ égal à 1. Pour un actif sans risque, il sera égal à 0.

Le MEDAF postule les hypothèses théoriques suivantes :

1. Il n'y a pas de coûts de transaction (c'est-à-dire ni commission sur les transactions, ni marge entre prix d'achat et de vente).
2. Un investisseur peut acheter ou vendre à découvert n'importe quelle action sans que cela ait une incidence sur le prix de l'action.
3. Il n'y a pas de taxes, la fiscalité est donc la même pour les plus-values et les dividendes.
4. Les investisseurs n'aiment pas le risque.
5. Les investisseurs ont le même horizon temporel.
6. Tous les investisseurs ont un portefeuille de Markowitz car ils ne considèrent chaque action que sous son aspect moyenne-variance.
7. Les investisseurs contrôlent le risque par la diversification.
8. Tous les actifs, y compris le capital humain, peuvent être achetés et vendus librement sur le marché.
9. Les investisseurs peuvent prêter ou emprunter de l'argent au taux sans risque.

On peut représenter graphiquement le modèle CAPM. Prenons tout d’abord la droite de marché des capitaux (capital market line (CML) en anglais). Un investisseur considère le rendement espéré [E(R)] et le risque (la variabilité représentée par l’écart-type du portefeuille,${\displaystyle \sigma }$). Pour un risque donné, il préfère le portefeuille qui a le rendement le plus élevé. Parmi tous les portefeuilles possibles, Markowitz propose de calculer ceux qui ont le rendement le plus élevé pour un risque donné. On obtient alors la frontière de Markowitz A-B. Les portefeuilles efficients se trouvent sur cette courbe qui est la même pour tous les investisseurs (mêmes anticipations des rendements et des risques).

Soit ${\displaystyle R_{F}}$ le rendement du titre sans risque (par exemple, les bons du trésor USA à coupon zéro). La droite de marché des capitaux part de ${\displaystyle R_{F}}$ et est tangente à la courbe A-B. Un investisseur peut choisir tout portefeuille sur la droite entre ${\displaystyle R_{F}}$ et M. Tous les investisseurs doivent posséder le portefeuille de marché M dans des proportions plus ou moins grandes. Par exemple, le portefeuille H comprend en part égale le titre sans risque et le portefeuille M.

Soit le portefeuille P composé du portefeuille de marché M (dont le rendement est ${\displaystyle R_{M}}$) dans la proportion w et du titre sans risque dans la proportion 1-w. Le rendement espéré est :

${\displaystyle E(R_{P})=(1-w)R_{F}+wE(R_{M})}$

et sa variance :

${\displaystyle \sigma _{P}^{2}=w^{2}\sigma _{M}^{2}}$

En introduisant la valeur de w de cette équation dans celle du rendement espéré on obtient l’équation de la droite de marché des capitaux :

${\displaystyle E(R_{P})=R_{F}+\left[E(R_{M})-R_{F}\right]{\frac {\sigma _{P}}{\sigma _{M}}}}$

Le risque du portefeuille de marché est :

${\displaystyle \sigma _{M}=\left[\sum _{i}^{N}\sum _{j}^{N}\omega _{i}\omega _{j}\sigma _{ij}\right]^{0.5}}$

où ${\displaystyle \omega _{i}}$ (ou ${\displaystyle \omega _{j}}$) est la part du titre i (ou j) dans le portefeuille du marché et N le nombre de titres.

La covariance entre un titre i et le portefeuille de marché est :

${\displaystyle \sigma _{iM}=\sum _{j}^{N}\omega _{j}\sigma _{ij}}$

On peut alors écrire le risque du portefeuille de marché de la manière suivante :

${\displaystyle \sigma _{M}=\sum _{j}\omega _{j}\sigma _{jM}}$

Prenons maintenant le cas du titre ${\displaystyle i}$. Soient tous les portefeuilles ${\displaystyle Q}$ composés du titre ${\displaystyle i}$ dans des proportions variables ${\displaystyle x}$ (${\displaystyle 0\leq x\leq 1}$) et le reste dans le portefeuille de marché. Le rendement espéré de ces portefeuilles sera :

${\displaystyle E(R_{Q})=xE(R_{i})+(1-x)E(R_{M})}$

et le risque :

${\displaystyle \sigma _{Q}=\left[x^{2}\sigma _{i}^{2}+(1-x)^{2}\sigma _{M}^{2}+2x(1-x)\sigma _{iM}\right]^{0.5}}$

Ces portefeuilles se trouvent sur la ligne pointillée ${\displaystyle M-i}$. La pente de cette ligne est[3] :

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} E(R_{Q})}{\mathrm {d} \sigma _{Q}}}={\frac {\left[E(R_{i})-E(R_{M})\right]\left[x^{2}\sigma _{i}^{2}+(1-x)^{2}\sigma _{M}^{2}+2x(1-x)\sigma _{iM}\right]^{0.5}}{x\sigma _{i}^{2}-(1-x)\sigma _{M}^{2}+(1-2x)\sigma _{iM}}}}$

Lorsque ${\displaystyle x=0}$ ,${\displaystyle i=M}$ et la pente est celle de la droite ${\displaystyle R_{F}}$ - M. En utilisant cette relation et l’équation de la droite du marché des capitaux on obtient :

${\displaystyle E(R_{i})=R_{F}+\left[{\frac {E(R_{M})-R_{F}}{\sigma _{M}^{2}}}\right]\sigma _{iM}}$

qui est la droite de marché des titres (security market line (SML) en anglais). Soit :

${\displaystyle \beta _{i}={\frac {\sigma _{iM}}{\sigma _{M}^{2}}}={\frac {\rho _{iM}\sigma _{i}}{\sigma _{M}}}}$

où ${\displaystyle \rho _{iM}}$ est le coefficient de corrélation entre le titre i et le portefeuille de marché. On peut écrire :

${\displaystyle E(R_{i})=R_{F}+\beta _{i}\left[E(R_{M})-R_{F}\right]}$

À l’équilibre, les rendements espérés de tous les titres doivent se trouver sur cette droite. Si le rendement est supérieur à la valeur d’équilibre, on dit que le titre est sous-évalué. Au contraire, si le rendement est au-dessous de la valeur d’équilibre le titre est surévalué. On calcule souvent la valeur alpha :

${\displaystyle \alpha =E(R_{i})-E*(R_{i})}$

où ${\displaystyle E*(R_{i})}$ est la valeur d’équilibre selon le modèle CAPM.

Le coefficient ${\displaystyle \beta }$ est un indice de risque systématique. Le marché récompense uniquement ce risque. Si l’investisseur n’a pas diversifié son portefeuille, le risque supplémentaire n’est pas récompensé. Une valeur de ${\displaystyle \beta }$ supérieure à l’unité signifie que le rendement du titre varie plus fortement que celui du portefeuille de marché.

La plupart des hypothèses sur lesquelles se base le MEDAF ne sont pas vérifiées dans la réalité, en particulier les hypothèses numéro 2, 6 et 9 :

• Toute transaction d'une certaine taille a un effet sur le prix d'une action
• Peu d'investisseurs ont un portefeuille de Markowitz (l'inventeur de ce portefeuille, Harry Markowitz, lui-même, ne l'utilise pas [4] ; George Akerlof non plus[5])
• L'hypothèse numéro 9 stipule qu'un investisseur peut emprunter de l'argent sans aucune limite, ce qu'aucune banque n'autorise aujourd'hui.

Harry Markowitz, dans un article de 2005 du Financial Analysts Journal, a remarqué que si l'on modifie l'hypothèse numéro 9 du MEDAF, alors les conclusions de son modèle sont modifiées drastiquement[6].

Plusieurs modifications du modèle CAPM ont été proposées avec des hypothèses moins restrictives. Le modèle zero-beta de Fischer Black[7] tient compte de l’impossibilité d’investir au taux d’intérêt sans risque. John Lintner[8] présente un modèle où les anticipations ne sont pas homogènes. Fama[9] examine le cas d’un investisseur dont les choix ne se limitent pas à une seule période.