Méthode des points sources distribués

On part de la formulation faible du problème et on utilise une méthode de Galerkine sur un maillage du domaine d'étude. La solution appartient à un espace fonctionnel satisfaisant des propriétés de régularité bien définies.

D'un point de vue plus formel, on écrit la formulation faible sous la forme :

Trouver ${\displaystyle u\in V}$ telle que ${\displaystyle \forall v\in V,a(u,v)=L(v)}$

où a est une forme bilinéaire, et L une forme linéaire.

L'ensemble V étant généralement de dimension infinie, on construit un espace ${\displaystyle V_{h}\subset V}$ avec ${\displaystyle {\rm {dim}}V_{h}<+\infty }$, et on réécrit le problème de la façon suivante :

Trouver ${\displaystyle u_{h}\in V_{h}}$ telle que ${\displaystyle \forall v_{h}\in V_{h},a(u_{h},v_{h})=L(v_{h})}$

Dans la pratique, on se restreint aux fonctions ${\displaystyle V}$ définissant les frontières du domaine d'étude. Ces fonctions sont appelées conditions aux limites du problème.

L'espace ${\displaystyle V_{h}}$ considéré est l'ensemble des fonctions de Green solutions ponctuelles pour chaque point source issue du maillage.

Du fait que l'espace d'approximation utilisé ${\displaystyle V_{h}}$ est de dimension finie ${\displaystyle n<+\infty }$, on peut décomposer la solution du problème sur une base de fonctions de Green ${\displaystyle \left\lbrace g_{i}\right\rbrace _{1\leqslant i\leqslant n}}$ de ${\displaystyle V_{h}}$ :

${\displaystyle u_{h}=\sum _{j=1}^{n}{\lambda }_{j}g_{j}}$

Ainsi, en écrivant le problème en choisissant les fonctions condition aux limites ${\displaystyle v_{h}=cl_{i}}$, il vient :

${\displaystyle m(u_{h},e_{i})=\sum _{j=1}^{n}{\lambda }_{j}a(g_{j},cl_{i})=L(cl_{i})\ ,\ \forall i\in [\![1,n]\!]}$

On obtient ainsi un système d'équations linéaires de la forme ${\displaystyle M{\lambda }=l}$, en notant

${\displaystyle M=\left(a(g_{j},cl_{i})\right)_{1\leqslant i,j\leqslant n}}$, ${\displaystyle {\lambda }=\left({\lambda }_{i}\right)_{1\leqslant i\leqslant n}}$, ${\displaystyle l=\left(L(cl_{i})\right)_{1\leqslant i\leqslant n}}$

Cette forme matricielle est plus lisible sous la forme de matrices par blocs. Les sources et les points tests sont regroupés par frontières du domaine.

${\displaystyle m(u_{h},e_{i})=\sum _{j=1}^{n}{\lambda }_{j}a(g_{j},cl_{i})=\sum _{Fr=1}^{p}{\sum _{j=1}^{n_{p}}{\lambda }_{j}a(g_{j},cl_{i})}}$

Modélisation d'un transducteur à ultrasons dans un milieu contenant 2 bulles

Exemple de calcul de la pression acoustique générée par un transducteur à ultrasons dans un milieu contenant 2 bulles.

Les "points test" sont des points géométriques posés sur le maillage des frontières du domaine d'étude.

Les "conditions aux limites" sont des fonctions définies sur les points tests. Elles sont scalaires ou vectorielles .

Les "points sources" sont des points géométriques positionnés à l'aplomb des points tests.

Le "milieu" est l'espace délimité par les frontières. Le milieu est supposé homogène et il est défini par ses caractéristiques (comme la pression, la permittivité...)

Les fonctions sources de cette modélisation définies entre une source S et un point test P sont

${\displaystyle a_{SP}={\frac {\mu }{4\pi }}{\frac {\mathrm {e} ^{-ikR_{SP}}}{R_{SP}}}}$ où ${\displaystyle R_{SP}}$ est la distance entre le point source S et le point test P.

Ces fonctions sont les coefficients des matrices. Ils correspondent à la contribution des sources sur les points tests.

Représentation des différents blocs de la matrice de couplage pour un transducteur acoustique et 2 bulles

La matrice est générée bloc par bloc. Chaque bloc correspond à un couple de frontières <Sources/Points test>. Chaque bloc est une matrice de dimension de NxP coefficients, N étant le nombre de sources et P le nombre de points tests.

Les blocs diagonaux sont appelés matrices d'autocouplage, ils correspondent à la contribution des sources d'une frontière sur les points tests de la même frontière. Les autres blocs sont les matrices d'intercouplage, correspondant à la contribution des sources d'une frontière sur les points tests d'une autre frontière.

La ligne de bloc s'écrit : ${\displaystyle M.\lambda =Cl}$

Dans les cas où les frontières sont internes, c'est-à-dire qu'elles séparent 2 milieux, les conditions aux limites utilisateurs sont remplacées par des conditions de continuité comme la continuité de la pression modulo la pression de chaque milieu.

La ligne de bloc s'écrit : ${\displaystyle M^{+}.\lambda ^{+}-M^{-}.\lambda ^{-}=0}$ où ${\displaystyle M^{+}}$ correspond à la contribution des sources d'un côté de la frontière interne orientée et ${\displaystyle M^{-}}$ au côté opposé.

Pression acoustique générée par un transducteur vibrant à 1 MHz et 2 MHz dans de l'eau contenant 2 bulles d'air