Méthode de Jacobi

La méthode de Jacobi, due au mathématicien allemand Karl Jacobi, est une méthode itérative de résolution d'un système matriciel de la forme $Ax = b$ . Pour cela, on utilise une suite $x (k)$ qui converge vers un point fixe $x$ , solution du système d'équations linéaires.

Principe de construction

On cherche à construire, pour $x (0)$ donné, la suite $x (k + 1) = F (x (k))$ avec $k\in \mathbb {N}$ .

$A = M - N$ où $M$ est une matrice inversible.

{\begin{matrix}Ax=b\Leftrightarrow Mx=Nx+b\Leftrightarrow &x&=&M^{-1}Nx+M^{-1}b\\&&=&F(x)\end{matrix}}

où $F$ est une fonction affine. La matrice $B = M -1 N$ est alors appelée matrice de Jacobi.

Cependant, l'algorithme qui suit n'est valable que si la matrice $A$ est à diagonale strictement dominante sur les lignes (si la matrice $M$ est diagonale, sinon se référer à la section convergence).

Algorithme

$\left\{{\begin{array}{l}x^{(0)}\;{\mbox{connu}}\\x^{(k+1)}=Bx^{(k)}+M^{-1}b\end{array}}\right.$

Erreur et convergence

Si $x$ est solution de $Ax = b$ alors il vérifie

x=Bx+M^{-1}b

.

Soit $e (k)$ le vecteur erreur

e^{(k+1)}=x^{(k+2)}-x^{(k+1)}=B(x^{(k+1)}-x^{(k)})=Be^{(k)}

ce qui donne

e^{(k+1)}=Be^{(k)}=B^{k+1}e^{(0)}

.

L'algorithme converge si $\lim _{k\to \infty }\|e^{(k)}\|=0\Longleftrightarrow \lim _{k\to \infty }\|B^{k}\|=0$ (c-à-d. $B k$ tend vers la matrice nulle).

Théorème — Une condition nécessaire et suffisante pour que $\lim _{k\to \infty }\|B^{k}\|=0$ est que le rayon spectral (plus grande valeur propre en module) de $B$ soit strictement inférieur à 1.

Théorème — La méthode converge quel que soit $x (0)$ pour les systèmes linéaires dont la matrice est à diagonale strictement dominante.

Méthode de Jacobi

On décompose la matrice $A$ de la façon suivante : $A = D - E - F$ avec $D$ la matrice diagonale de $A$ , $- E$ la matrice triangulaire inférieure de $A$ de diagonale nulle et $- F$ la matrice triangulaire supérieure de diagonale nulle. Dans la méthode de Jacobi, on choisit $M = D$ et $N = E + F$ (dans la méthode de Gauss-Seidel, $M = D - E$ et $N = F$ ).

x^{(k+1)}=D^{-1}(E+F)x^{(k)}+D^{-1}b

x_{i}^{(k+1)}=\cdots x_{i}^{(k)}+{\frac {b_{i}}{a_{ii}}}

avec

pour la ligne i de $D -1 (E + F)$ : $-\left({\frac {a_{i,1}}{a_{i,i}}},\cdots ,{\frac {a_{i,i-1}}{a_{i,i}}},0,{\frac {a_{i,i+1}}{a_{i,i}}},\cdots ,{\frac {a_{i,n}}{a_{i,i}}}\right)$

x_{i}^{(k+1)}=-{\frac {1}{a_{ii}}}\sum _{j=1 \atop j\neq i}^{n}a_{ij}x_{j}^{(k)}+{\frac {b_{i}}{a_{ii}}}

Vecteur résidu

Soit $r^{(k)}=De^{(k)}$ le vecteur résidu. On peut écrire $x_{i}^{(k+1)}={\frac {r_{i}^{(k)}}{a_{i,i}}}+x_{i}^{(k)}$ avec $r (k) i$ que l'on calcule de la manière suivante :

r_{l}^{(k+1)}=-\sum _{j=1 \atop j\neq l}^{n}a_{l,j}{\frac {r_{l}^{(k)}}{a_{j,j}}}

.

Test d'arrêt

Pour le test d'arrêt, on utilise l'erreur relative sur le vecteur résidu, ce qui donne, pour une précision donnée $ε$ :

{\frac {\|r^{(k)}\|}{\|b\|}}<\varepsilon

Coût

Cette méthode a un coût de l'ordre de $3 n 2 +2 n$ par itération. Elle converge moins vite que la méthode de Gauss-Seidel, mais est très facilement parallélisable.

Voir aussi

Articles connexes

Liens externes

(fr) Méthode de Jacobi

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