Matrice à diagonale dominante

La matrice

${\displaystyle A={\begin{pmatrix}3&1&1\\1&-3&2\\-1&2&4\end{pmatrix}}}$

vérifie

${\displaystyle \left\{{\begin{array}{ccc}|a_{11}|&\geq &|a_{12}|+|a_{13}|\,&{\text{car}}\,&|3|&\geq &|1|+|1|\\|a_{22}|&\geq &|a_{21}|+|a_{23}|\,&{\text{car}}\,&|-3|&\geq &|1|+|2|\\|a_{33}|&\geq &|a_{31}|+|a_{32}|\,&{\text{car}}\,&|4|&\geq &|-1|+|2|\end{array}}\right..}$

C'est donc une matrice à diagonale dominante.

La matrice

${\displaystyle B={\begin{pmatrix}-2&2&1\\1&3&2\\1&-2&0\end{pmatrix}}}$

vérifie

${\displaystyle \left\{{\begin{array}{ccc}|b_{11}|&<&|b_{12}|+|b_{13}|\,&{\text{car}}\,&|-2|&<&|2|+|1|\\|b_{22}|&\geq &|b_{21}|+|b_{23}|\,&{\text{car}}\,&|3|&\geq &|1|+|2|\\|b_{33}|&<&|b_{31}|+|b_{32}|\,&{\text{car}}\,&|0|&<&|1|+|-2|\end{array}}\right..}$

Ce n'est donc pas une matrice à diagonale dominante.

La matrice

${\displaystyle C={\begin{pmatrix}-4&2&1\\1&6&2\\1&-2&5\end{pmatrix}}}$

vérifie

${\displaystyle \left\{{\begin{array}{ccc}|c_{11}|&>&|c_{12}|+|c_{13}|\,&{\text{car}}\,&|-4|&>&|2|+|1|\\|c_{22}|&>&|c_{21}|+|c_{23}|\,&{\text{car}}\,&|6|&>&|1|+|2|\\|c_{33}|&>&|c_{31}|+|c_{32}|\,&{\text{car}}\,&|5|&>&|1|+|-2|\end{array}}\right..}$

C'est donc une matrice à diagonale strictement dominante.

Le « lemme d'Hadamard »[1] est un cas particulier du théorème de Gerschgorin. Inversement, il peut servir de lemme pour démontrer ce dernier.

Si ${\displaystyle A=(a_{i,j})_{(i,j)\in [\![1,n]\!]^{2}}}$ est une matrice à diagonale strictement dominante alors A est inversible.

Démonstration

Soit A à diagonale strictement dominante et ${\displaystyle X={\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\\vdots \\x_{n}\end{pmatrix}}}$ tels que AX = 0. On a alors :

${\displaystyle \forall i\in \{1,\ldots ,n\},~\sum _{j=1}^{n}a_{i,j}x_{j}=0}$

et il s'agit d'en déduire que X est nul.

Soit ${\displaystyle i_{0}\in \{1,\ldots ,n\}}$ tel que

${\displaystyle |x_{i_{0}}|=\max \left\{|x_{i}|,i\in \{1,\ldots ,n\}\right\}.}$

On a ${\displaystyle -a_{i_{0},i_{0}}x_{i_{0}}=\sum _{j=1 \atop j\neq i_{0}}^{n}a_{i_{0},j}x_{j}}$, d'où

${\displaystyle |a_{i_{0},i_{0}}||x_{i_{0}}|\leq \sum _{j=1 \atop j\neq i_{0}}^{n}|a_{i_{0},j}x_{j}|\leq \sum _{j=1 \atop j\neq i_{0}}^{n}|a_{i_{0},j}||x_{i_{0}}|.}$

Comme ${\displaystyle |a_{i_{0},i_{0}}|>\sum _{j=1 \atop j\neq i_{0}}^{n}|a_{i_{0},j}|,}$ on en déduit que ${\displaystyle |x_{i_{0}}|=0}$, autrement dit X = 0.

• Théorème de Gerschgorin
• Matrice définie positive et semi-définie positive

• Portail de l’algèbre