Loi de Laplace (thermodynamique)

Au cours d'une transformation isentropique d'un gaz parfait on a les relations suivantes :

${\displaystyle PV^{\gamma }=C_{1}}$

${\displaystyle TV^{\gamma -1}=C_{2}}$

${\displaystyle T^{\gamma }P^{1-\gamma }=C_{3}=C_{1}^{1-\gamma }C_{2}^{\gamma }}$

avec :

• ${\displaystyle P}$ la pression du gaz ;
• ${\displaystyle V}$ le volume occupé par le gaz ;
• ${\displaystyle T}$ la température du gaz ;
• ${\displaystyle \gamma }$ le coefficient de Laplace, ou indice adiabatique du gaz parfait (sans unité), c'est-à-dire :

${\displaystyle \gamma ={\frac {C_{P}}{C_{V}}}}$ le rapport des capacités thermiques ${\displaystyle C_{P}}$ à pression constante (isobare) et ${\displaystyle C_{V}}$ à volume constant (isochore) ;

• ${\displaystyle C_{1}}$, ${\displaystyle C_{2}}$, ${\displaystyle C_{3}}$ trois constantes ; elles ne dépendent que du gaz parfait étudié et des conditions initiales de pression, température et volume de la transformation (${\displaystyle P_{0}}$, ${\displaystyle T_{0}}$ et ${\displaystyle V_{0}}$).

Limitations

Les relations de Laplace ne sont valables :

• que pour un gaz parfait ou un mélange de gaz parfaits ;
• que si l'on suppose que ${\displaystyle \gamma }$ ne dépend pas de la température (pour des températures proches de 20 °C on pose généralement ${\displaystyle \gamma =5/3}$ pour un gaz monoatomique et ${\displaystyle \gamma =7/5}$ pour un gaz diatomique) ;
• que lors d'une transformation isentropique.

Le premier principe de la thermodynamique énonce que :

« Au cours d'une transformation quelconque d'un système fermé, la variation de son énergie est égale à la quantité d'énergie échangée avec le milieu extérieur, sous forme de chaleur et sous forme de travail. »

Dans le cas d'un système thermodynamique, seule l'énergie interne varie.

${\displaystyle \mathrm {d} U=\delta W+\delta Q}$

Le travail mécanique ${\displaystyle \delta W}$ est le produit de la variation de volume ${\displaystyle \mathrm {d} V}$ par la pression extérieure ${\displaystyle P}$ exercée pour ce changement de volume :

${\displaystyle \delta W=-P\,\mathrm {d} V}$

Si ce processus est adiabatique, donc sans échange de chaleur : ${\displaystyle \delta Q=0}$, d'où :

${\displaystyle \mathrm {d} U=-P\,\mathrm {d} V}$

Considérons maintenant l'enthalpie du système (${\displaystyle H=U+PV}$) et sa variation :

${\displaystyle \mathrm {d} H=\,\mathrm {d} U+P\,\mathrm {d} V+V\,\mathrm {d} P}$

${\displaystyle \mathrm {d} H=-P\,\mathrm {d} V+P\,\mathrm {d} V+V\,\mathrm {d} P}$

${\displaystyle \mathrm {d} H=V\,\mathrm {d} P}$

Si nous supposons que ce gaz se comporte comme un gaz parfait, les variations, à quantité de matière fixe, de l'énergie interne et de l'enthalpie du système ne dépendent que de la température, selon respectivement la loi de Joule et Gay-Lussac et la loi de Joule-Thomson. Il s'ensuit que :

${\displaystyle \mathrm {d} U=C_{V}\,\mathrm {d} T}$

${\displaystyle \mathrm {d} H=C_{P}\,\mathrm {d} T}$

où ${\displaystyle C_{V}}$ et ${\displaystyle C_{P}}$ sont respectivement les capacités thermiques à volume et pression constants et ${\displaystyle T}$ est la température. L'unité de ${\displaystyle C_{V}}$ et ${\displaystyle C_{P}}$ est le joule par kelvin (J/K). Nous en déduisons deux relations :

• par l'énergie interne : ${\displaystyle C_{V}\,\mathrm {d} T=-P\,\mathrm {d} V}$,
• par l'enthalpie : ${\displaystyle C_{P}\,\mathrm {d} T=V\,\mathrm {d} P}$,

d'où également :

${\displaystyle \mathrm {d} T=-{P \over C_{V}}\,\mathrm {d} V={V \over C_{P}}\,\mathrm {d} P}$

${\displaystyle {C_{P} \over C_{V}}{\mathrm {d} V \over V}=-{\mathrm {d} P \over P}}$

Soit ${\displaystyle \gamma }$ le coefficient de Laplace, ou indice adiabatique, défini par le rapport des capacités thermiques isobare et isochore ${\displaystyle \gamma =C_{P}/C_{V}}$, que l'on peut également définir à partir des capacités thermiques molaires ${\displaystyle {\bar {C}}_{P}}$ et ${\displaystyle {\bar {C}}_{V}}$ si la transformation concerne ${\displaystyle n}$ moles de gaz parfait, ou des capacités thermiques massiques (ou spécifiques) ${\displaystyle c_{P}}$ et ${\displaystyle c_{V}}$ si la transformation concerne une masse ${\displaystyle m}$ de gaz parfait :

${\displaystyle C_{P}=n\,{\bar {C}}_{P}=m\,c_{P}}$

${\displaystyle C_{V}=n\,{\bar {C}}_{V}=m\,c_{V}}$

${\displaystyle \gamma ={C_{P} \over C_{V}}={{\bar {C}}_{P} \over {\bar {C}}_{V}}={c_{P} \over c_{V}}}$

On réécrit la relation établie plus haut :

${\displaystyle \gamma {\mathrm {d} V \over V}=-{\mathrm {d} P \over P}}$.

Intégrons cette relation entre deux états ${\displaystyle \left(P_{\circ },V_{\circ },T_{\circ }\right)}$ et ${\displaystyle \left(P,V,T\right)}$, pour la quantité de gaz ${\displaystyle n}$ fixe, avec :

${\displaystyle {\frac {P_{\circ }V_{\circ }}{T_{\circ }}}={\frac {PV}{T}}=nR}$

Pour un gaz parfait, les capacités thermiques molaires ${\displaystyle {\bar {C}}_{P}}$ et ${\displaystyle {\bar {C}}_{V}}$ ne dépendent que de la température, selon respectivement la loi de Joule et Gay-Lussac et la loi de Joule-Thomson. On considèrera ici que lors de la transformation ${\displaystyle \gamma }$ est constant, malgré le changement de température. On obtient :

${\displaystyle \gamma \int _{V_{\circ }}^{V}{\mathrm {d} V \over V}=-\int _{P_{\circ }}^{P}{\mathrm {d} P \over P}}$

${\displaystyle \gamma \ln \left({V \over V_{\circ }}\right)=-\ln \left({P \over P_{\circ }}\right)}$

et donc :

${\displaystyle PV^{\gamma }=P_{\circ }{V_{\circ }}^{\gamma }}$ (1)

Si l'on substitue dans (1) :

${\displaystyle P_{\circ }={nRT_{\circ } \over V_{\circ }}}$

${\displaystyle P={nRT \over V}}$

on obtient :

${\displaystyle TV^{\gamma -1}=T_{\circ }{V_{\circ }}^{\gamma -1}}$ (2)

Si l'on substitue également dans (1) :

${\displaystyle V_{\circ }={nRT_{\circ } \over P_{\circ }}}$

${\displaystyle V={nRT \over P}}$

on obtient :

${\displaystyle P^{1-\gamma }T^{\gamma }={P_{\circ }}^{1-\gamma }{T_{\circ }}^{\gamma }}$ (3)

En toute rigueur, les capacités thermiques molaires ${\displaystyle {\bar {C}}_{P}}$ et ${\displaystyle {\bar {C}}_{V}}$ d'un gaz parfait, et par conséquent ${\displaystyle \gamma }$, dépendent de la température[1]. La loi de Laplace n'est donc pas exacte. Considérons un gaz parfait subissant une transformation isentropique, soit ${\displaystyle \Delta S=0}$. Si l'on connait les conditions initiales de la transformation (quantité de gaz ${\displaystyle n}$ et au moins deux des trois conditions dans ${\displaystyle \left(P_{\circ },T_{\circ },V_{\circ }\right)}$), il suffit de connaitre une condition de l'état final (pression ou température ou volume) pour en déduire toutes les autres :

• connaissant la pression finale ${\displaystyle P}$ de la transformation isentropique, connaissant l'expression de l'entropie d'un gaz parfait pur ou en mélange de gaz parfaits, on calcule d'abord la température finale ${\displaystyle T}$ selon :

${\displaystyle \Delta S=n\int _{T_{\circ }}^{T}{\frac {{\bar {C}}_{P}}{T}}\,\mathrm {d} T-nR\,\ln \!\left({\frac {P}{P_{\circ }}}\right)=0}$

Réciproquement, connaissant la température finale ${\displaystyle T}$, on peut ainsi calculer la pression finale ${\displaystyle P}$.

Puis l'on trouve le volume final ${\displaystyle V}$ selon :

${\displaystyle V={P_{\circ } \over P}{T \over T_{\circ }}V_{\circ }}$

• connaissant le volume final ${\displaystyle V}$ de la transformation isentropique, connaissant l'expression de l'entropie d'un gaz parfait pur ou en mélange de gaz parfaits, on calcule d'abord la température finale ${\displaystyle T}$ selon :

${\displaystyle \Delta S=n\int _{T_{\circ }}^{T}{\frac {{\bar {C}}_{V}}{T}}\,\mathrm {d} T+nR\,\ln \!\left({\frac {V}{V_{\circ }}}\right)=0}$

Réciproquement, connaissant la température finale ${\displaystyle T}$, on peut ainsi calculer le volume final ${\displaystyle V}$.

Puis l'on trouve la pression finale ${\displaystyle P}$ selon :

${\displaystyle P={V_{\circ } \over V}{T \over T_{\circ }}P_{\circ }}$

L'air est constitué principalement d'azote ${\displaystyle {\rm {N_{2}}}}$ et de dioxygène ${\displaystyle {\rm {O_{2}}}}$. Pour ces gaz diatomiques à l'état de gaz parfait on a ${\displaystyle \gamma =7/5}$[3].

On remarquera que si l'on extrait les chaleurs spécifiques massiques à partir de tables[4], on obtient à 1013.15 hPa et T = 300 K :

• ${\displaystyle c_{P}}$ = 1 005 J/(kg·K) ;
• ${\displaystyle c_{V}}$ = 718 J/(kg·K).

et donc ${\displaystyle \gamma }$ ≈ 1,4 = 7/5.

La loi de Laplace s'applique donc particulièrement bien à l'atmosphère. On peut alors calculer le gradient thermique adiabatique (ou adiabatique sèche) qui est de 9,76 K/km. Ce nombre est extrêmement important car à partir de sondages atmosphériques, on peut déterminer si l'atmosphère est stable ou est instable. Cela déterminera si des orages vont se former ou si les pilotes de planeur peuvent exploiter les ascendances thermiques.

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