Lemme de Gauss (polynômes)

En mathématiques, il existe un résultat appelé lemme de Gauss s'appliquant à la théorie des polynômes. Il énonce que si un polynôme P à coefficients entiers est factorisé en deux polynômes à coefficients rationnels non constants, ceux-ci sont proportionnels à des polynômes à coefficients entiers dont le produit est égal à P.

Pour les articles homonymes, voir Théorème de Gauss.

Il existe une généralisation de ce lemme, stipulant un résultat analogue si l'anneau est factoriel. Il permet de démontrer le caractère factoriel de l'ensemble des polynômes à coefficients dans un anneau factoriel, précisant le type d'arithmétique des polynômes disponible pour ce cas particulier. Une démonstration du cas général est présentée dans l'article « Anneau factoriel ».

Ce lemme apparaît dans les Disquisitiones arithmeticae de Gauss, à l'article 42, sous la forme d'une proposition contraposée[1].

Énoncé

Théorème — Soient deux polynômes unitaires et

Si leurs coefficients sont tous rationnels, sans être tous entiers,

alors leur produit a au moins un coefficient qui n'est pas entier.

Généralisation

Une version de ce lemme est valide dans n'importe quel anneau factoriel[2] (c'est-à-dire possédant une bonne théorie de la divisibilité) à la place de l'anneau des entiers[3].

Voici l'équivalent du lemme de Gauss dans ce cas :

Théorème — Soient A un anneau factoriel et K son corps de fractions, un polynôme non constant P à coefficients dans A est irréductible dans A[X] si et seulement s'il est primitif et irréductible dans K[X].

Pour le démontrer, on définit d'abord le concept de polynôme primitif de A[X] comme un polynôme dont tous les coefficients sont premiers entre eux. On considère alors K le corps des fractions de A, et on montre que tout polynôme P s'écrit comme le produit d'une constante et d'un polynôme primitif de A[X]. Cette constante est appelée contenu du polynôme et n'est définie qu'à un facteur inversible de A près. Le contenu du polynôme P est en fait le plus grand dénominateur commun dans l'anneau A des coefficients de P. On démontre alors, dans l'article détaillé, le théorème suivant, qui exprime la multiplicativité du contenu :

Théorème — Soient A un anneau factoriel. Soient P et Q deux polynômes à une variable à coefficients dans A. Alors :

.

Un corollaire de ce lemme de Gauss est que pour tout anneau factoriel A, l'anneau des polynômes en plusieurs indéterminées est aussi factoriel. Le lemme de Gauss peut aussi être utilisé pour démontrer le critère d'irréductibilité d'Eisenstein. Il permet enfin de démontrer que les polynômes cyclotomiques (unitaires à coefficients entiers) sont irréductibles.

Démonstration

Quand l'anneau A est celui des entiers, le contenu est choisi toujours positif. Cette convention est toujours possible à remplir, quitte à multiplier le polynôme et le contenu par -1.

Notons maintenant f et g les deux polynômes unitaires de l'énoncé. Les contenus sont donc tous deux inférieurs à 1, et l'un des deux est même strictement inférieur à 1, puisque l'un des polynômes n'est pas à coefficients entiers. Le contenu du produit f.g, qui est égal au produit des contenus, est donc strictement inférieur à 1, ce qui prouve que f.g n'est pas à coefficients entiers.

Notes et références
  1. Cité d'après la traduction française faite par Poullet-Delisle de 1807 (le traducteur utilise le mot « fonctions » à la place de « polynômes »).
  2. Ou même seulement intègre et à PGCD.
  3. Voir Serge Lang, Algèbre [détail des éditions], V, §6 (éd. ang. p. 126-128).
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