Lemme d'Arden

On peut voir l'équation ${\displaystyle X=A\cdot X\cup B}$ comme la définition récursive d'un langage : un mot de ce langage est soit dans ${\displaystyle B}$, soit formé d'un mot dans ${\displaystyle A}$ suivi d'un autre mot du langage, et on peut interpréter la solution comme une définition itérative : un mot est formé d'une suite de mots dans ${\displaystyle A}$, puis d'un mot final dans ${\displaystyle B}$.

• L'équation ${\displaystyle X=aX\cup b}$, où ${\displaystyle a}$ et ${\displaystyle b}$ sont des lettres, a l'unique solution ${\displaystyle a^{*}b=\{b,ab,aab,\ldots ,a^{n}b,\ldots \}}$.

• L'équation ${\displaystyle X=X\cup B}$, où ${\displaystyle B}$ est un langage, a pour plus petite solution ${\displaystyle B}$. Ici ${\displaystyle A}$ est composé du mot vide, et ${\displaystyle A^{*}=A}$. En fait, tout langage contenant ${\displaystyle B}$ est solution.

• L'équation ${\displaystyle X=AX\cup B}$, avec ${\displaystyle A=a^{*}b}$ et ${\displaystyle B=a^{*}}$ a l'unique solution ${\displaystyle (a^{*}b)^{*}a^{*}=\{a,b\}^{*}}$. En effet, l'équation signifie qu'un mot de la solution ou bien n'est formé que de lettres ${\displaystyle a}$, ou bien commence par un préfixe formé d'une suite de lettres ${\displaystyle a}$ suivie d'un ${\displaystyle b}$, et d'un autre mot de la solution.

1. Le langage ${\displaystyle L=A^{*}\cdot B}$ est solution. En effet, on a :

${\displaystyle AL\cup B=A(A^{*}B)\cup B=(AA^{*}\cup \{\varepsilon \})B=A^{*}B=L}$.

2. Le langage ${\displaystyle A^{*}\cdot B}$ est la plus petite solution. Soit en effet ${\displaystyle L}$ une autre solution. Alors on a : ${\displaystyle L=AL\cup B=A(AL\cup B)\cup B=A^{2}L\cup AB\cup B}$. En continuant à remplacer ${\displaystyle L}$ par ${\displaystyle AL\cup B}$, on obtient pour tout ${\displaystyle n>0}$ l'équation

${\displaystyle L=A^{n+1}L\cup A^{n}B\cup A^{n-1}B\cup \cdots \cup AB\cup B}$,

ce qui montre que ${\displaystyle L}$ contient tous les ${\displaystyle A^{n}B}$, donc ${\displaystyle A^{*}B}$.

3. Si ${\displaystyle A}$ ne contient pas ${\displaystyle \varepsilon }$, alors cette solution est la seule. Soit en effet ${\displaystyle L}$ une autre solution. On sait déjà que ${\displaystyle L}$ contient ${\displaystyle A^{*}B}$. Par ailleurs, on a pour tout ${\displaystyle n>0}$ l'équation

${\displaystyle L=A^{n+1}L\cup A^{n}B\cup A^{n-1}B\cup \cdots \cup AB\cup B}$.

Soit ${\displaystyle w}$ un mot de ${\displaystyle L}$ de longueur ${\displaystyle n}$. Il appartient alors au membre droit de l'équation, mais il n'est pas dans ${\displaystyle A^{n+1}L}$ parce que tout mot de ce langage a longueur au moins ${\displaystyle n+1}$ (puisque tout mot de ${\displaystyle A}$ contient au moins une lettre). Donc le mot ${\displaystyle w}$ appartient à un autre langage de l'union, donc à ${\displaystyle A^{*}B.}$ Ceci prouve que ${\displaystyle L}$ est contenu dans ${\displaystyle A^{*}B}$, donc l'égalité ${\displaystyle L=A^{*}B}$.

Le lemme d'Arden permet, par la résolution d'un système d'équation par substitution, de déterminer le langage reconnu par un automate fini. On procède comme dans la méthode d'élimination de Gauss : on exprime une variable en fonction des autres, on la remplace par cette expression, on résout le système à une variable de moins, et on explicite la valeur de la variable éliminée.

Soit ${\displaystyle {\mathcal {A}}=(Q,{\mathcal {F}},I,T)}$ un automate fini sur un alphabet ${\displaystyle Z}$. Pour chaque état ${\displaystyle q\in Q}$, soit ${\displaystyle L_{q}}$ le langage reconnu à partir de l'état ${\displaystyle q}$, c'est-à-dire le langage reconnu en prenant ${\displaystyle q}$ pour état initial. On pose enfin ${\displaystyle Z_{q,r}=\{a\in Z\mid (q,a,r)\in T\}}$. Ce sont les étiquettes de transition de ${\displaystyle q}$ à ${\displaystyle r}$. On a alors :

${\displaystyle L_{q}=\bigcup _{r\in Q}Z_{q,r}\cdot L_{r}\cup F_{q}}$

où

${\displaystyle F_{q}={\begin{cases}\{\varepsilon \}&q\in F\\\varnothing &q\notin F\end{cases}}}$

L'application du lemme d'Arden permet alors d'éliminer une à une les inconnues ${\displaystyle L_{q}}$ des ${\displaystyle n}$ équations de la forme précédente, et d'obtenir une expression explicite des ${\displaystyle L_{q}}$ et notamment des ${\displaystyle L_{i},i\in I}$ qui permettent de déterminer le langage reconnu par l'automate ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$.

Ce même procédé est le fondement de la méthode de Brzozowski et McCluskey, ou de l'algorithme de McNaughton et Yamada.

Exemple

L'automate ci-contre donne le système d'équations :

${\displaystyle {\begin{array}{lcl}L_{1}&=&1L_{1}\cup 0L_{2}\cup \varepsilon \\L_{2}&=&1L_{2}\cup 0L_{1}\end{array}}}$

Le lemme d'Arden donne

${\displaystyle L_{2}=1^{*}0\cdot L_{1}}$.

En injectant cette expression de ${\displaystyle L_{2}}$ dans l'expression précédente de ${\displaystyle L_{1}}$ et en factorisant, on obtient

${\displaystyle L_{1}=(1\cup 01^{*}0)\cdot L_{1}\cup \{\varepsilon \}}$,

et par application du lemme d'Arden,

${\displaystyle L_{1}=(1\cup 01^{*}0)^{*}}$.