Inégalité de Ptolémée

Figure de l'inégalité de Ptolémée.

Inégalité de Ptolémée — Soient A, B C et D quatre points d'un espace affine euclidien. Alors,

${\displaystyle AC.BD\leq AB.CD+BC.AD}$

avec égalité si et seulement si ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle B}$, ${\displaystyle C}$ et ${\displaystyle D}$ pris dans cet ordre forment un quadrilatère convexe inscriptible.

Le cas d'égalité étant connu comme le théorème de Ptolémée.

L'inégalité de Ptolémée est la manifestation de l'inégalité triangulaire après l'application d'une inversion de centre l'un des points.

Soit ${\displaystyle A'}$, ${\displaystyle B'}$ et ${\displaystyle C'}$ les images respectives de ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle B}$ et ${\displaystyle C}$ par l'inversion de centre ${\displaystyle D}$ et de rapport ${\displaystyle 1}$.

Nous avons les relations des longueurs :

${\displaystyle A'B'={\frac {AB}{DA\times DB}}}$

${\displaystyle B'C'={\frac {BC}{DC\times DB}}}$

${\displaystyle A'C'={\frac {AC}{DA\times DC}}}$

Ainsi l'inégalité triangulaire ${\displaystyle A'C'\leq A'B'+B'C'}$ nous donne

${\displaystyle {\frac {AC}{DA\times DC}}\leq {\frac {AB}{DA\times DB}}+{\frac {BC}{DC\times DB}}}$

qui après multiplication par ${\displaystyle DA\times DB\times DC}$ devient

${\displaystyle AC\times BD\leq AB\times CD+BC\times AD}$

Le cas d'égalité étant si et seulement si ${\displaystyle A'}$, ${\displaystyle B'}$ et ${\displaystyle C'}$ sont alignées dans cette ordre, ce qui est équivalent à ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle B}$, ${\displaystyle C}$ et ${\displaystyle D}$ sont cocycliques dans cet ordre.

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