Inégalité de Paley–Zygmund

Si Z ≥ 0 est une variable aléatoire de variance finie, et si 0 < θ < 1, alors

${\displaystyle \Pr \lbrace Z\geq \theta \,\operatorname {E} (Z)\rbrace \geq (1-\theta )^{2}\,{\frac {\operatorname {E} (Z)^{2}}{\operatorname {E} (Z^{2})}}.}$

Tout d'abord, on a :

${\displaystyle \operatorname {E} (Z)=\operatorname {E} \lbrace Z\,\mathbf {1} _{Z<\theta \operatorname {E} (Z)}\rbrace +\operatorname {E} \lbrace Z\,\mathbf {1} _{Z\geq \theta \operatorname {E} (Z)}\rbrace ~.}$

Le premier terme de la somme est égal, au plus, à ${\displaystyle \theta \operatorname {E} (Z)}$. Le second terme est au plus égal à :

${\displaystyle \lbrace \operatorname {E} (Z^{2})\rbrace ^{1/2}\lbrace \operatorname {E} \mathbf {1} _{Z\geq \theta \operatorname {E} (Z)}\rbrace ^{1/2}={\Big (}\operatorname {E} (Z^{2}){\Big )}^{1/2}{\Big (}\Pr \lbrace Z\geq \theta \,\operatorname {E} (Z)\rbrace {\Big )}^{1/2}}$

d'après l'inégalité de Cauchy-Schwarz.

Ainsi, l'inégalité de Paley-Zygmund est démontrée.