Hypercycle

En géométrie hyperbolique, un hypercycle est une courbe formée de tous les points situés à la même distance, appelée le rayon, d'une droite fixée (appelée son axe). Les hypercycles peuvent être considérés comme des cercles généralisés, mais possèdent aussi certaines propriétés des droites euclidiennes ; dans le modèle du disque de Poincaré, les hypercycles sont représentés par des arcs de cercles.

Construction, dans le disque de Poincaré, de l'hypercycle HC d'axe L passant par P (l'autre hypercycle en rouge est celui ayant le même axe et le même rayon que HC).

Définition

En géométrie euclidienne, l'ensemble de tous les points situés à distance donnée d'une droite donnée est formée de deux parallèles à cette droite (c'est cette propriété que Clairaut prend comme définition du parallèlisme). Au contraire, en géométrie hyperbolique, deux droites non sécantes (« parallèles » au sens usuel) se rapprochent l'une de l'autre indéfiniment (on parle de parallèles asymptotes) ou possèdent une perpendiculaire commune unique, matérialisant leur distance minimale (on parle d'ultraparallèles). L'ensemble des points équidistants d'une droite, en géométrie hyperbolique, est formé de deux courbes, appelées hypercycles ; la droite est l'axe et la distance est le rayon de ces hypercycles.

Propriétés semblables à celles des droites.

Certaines propriétés des hypercycles sont analogues à celles des droites euclidiennes :

  • Par un point non situé sur une droite passe un hypercycle unique ayant cette droite pour axe.
  • Trois points d'un hypercycle ne sont jamais cocycliques.
  • Tout hypercycle est symétrique par rapport à toute droite qui lui est perpendiculaire[1].

Propriétés semblables à celles des cercles

D'autres propriétés des hypercycles sont analogues à celles des cercles euclidiens :

  1. Soit A et B deux points d'un hypercycle. La médiatrice de AB est perpendiculaire à l'hypercycle et à son axe, et coupe l'hypercycle au milieu de l'arc AB.
  2. L'axe d'un hypercycle est unique.
  3. Deux hypercycles ont le même rayon si et seulement si ils sont congruents.
  4. Une droite coupe un hypercycle en deux points au plus.
  5. Deux hypercycles ont au plus deux points communs.
Démonstrations

Soit M le milieu de l’arc AB :

  1. Par symétrie, la médiatrice de la corde AB est orthogonale à l’axe en N, et passe par M ; MN est donc un rayon.
  2. Supposons qu'un hypercycle ait deux axes distincts. Prenant deux cordes distinctes AB et CD, et utilisant deux fois le résultat précédent pour chacun des deux axes, on obtient quatre rayons distincts MN et MN' d'une part, PQ et PQ' de l'autre, et par construction, la figure NN'Q'Q est un rectangle, ce qui est impossible en géométrie hyperbolique.
  3. Si les deux rayons sont les mêmes, amenant les deux axes l'un sur l'autre par un déplacement (éventuellment suivi d'une rotation de 180°), les deux hypercycles coïncident eux aussi. Inversement, si on superpose les deux hypercycles par un déplacement, l'unicité des axes démontrée précédemment implique l'égalité des rayons.
  4. Soit A et B deux points d'intersection de la droite avec l'hypercycle. La droite AB est ultraparallèle à l'axe, puisque MN (construit comme en 1) est la perpendiculaire commune à ces deux droites ; MN est également la plus petite distance entre l'axe et AB. La distance entre les droites étant croissante en s'éloignant de M, elle ne peut être égale au rayon qu'en A et en B.
  5. Soit C1 et C2 deux hypercycles s'intersectant en trois points A, B, et C. On construit comme précédemment les médiatrices de AB et de BC, qui sont donc orthogonales aux deux axes des hypercycles ; comme cela formerait un rectangle impossible, les deux axes sont confondus, et C1 et C2 ayant même axe et un point commun, donc même rayon, sont confondus.

Autres propriétés
Pavage octogonal alterné (en) du disque de Poincaré, les arêtes consécutives étant inscrites dans des hypercycles.
  • La longueur d'un arc d'hypercycle entre deux points est
    • supérieure à la longueur du segment de droite entre ces points (les droites étant des géodésiques du plan hyperbolique), mais
    • inférieure à la longueur de l'arc de n'importe quel cercle ou horocycle entre ces deux points.

Longueur d'un arc

Prenant la courbure du plan hyperbolique égale à −1, soit A et B deux points de l'hypercycle, r son rayon et d la distance entre les projections de A et B sur son axe ; la longueur a de l'arc AB est donné par la formule a = d ch r[2].

Construction

Dans le modèle du disque de Poincaré, les droites sont représentées par des arcs de cercles orthogonaux au cercle limite ; un hypercycle ayant pour axe une droite d est représenté par un arc de cercle passant par les points d'intersection de d avec le cercle limite.

Références
  1. George E. Martin, The foundations of geometry and the non-euclidean plane, New York, Springer-Verlag, , 1., corr. Springer éd. (ISBN 3-540-90694-0), p. 371
  2. A.S. Smogorzhevsky, Lobachevskian geometry, Moscow, Mir, (lire en ligne), 68

Voir aussi

Bibliographie
  • (en) Martin Gardner, Non-Euclidean Geometry, Chapter 4 of The Colossal Book of Mathematics, W. W. Norton & Company, 2001, (ISBN 978-0-393-02023-6)
  • (en) M. J. Greenberg, Euclidean and Non-Euclidean Geometries: Development and History, 3rd edition, W. H. Freeman, 1994.
  • (en) George E. Martin, The Foundations of Geometry and the Non-Euclidean Plane, Springer-Verlag, 1975.

Liens externes
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