Groupe dicyclique

En algèbre et plus précisément en théorie des groupes, le groupe dicyclique ${\displaystyle {\rm {Dic}}_{n}}$ (pour tout entier n ≥ 2) est défini par la présentation[1]

${\displaystyle {\rm {Dic}}_{n}:=\langle a,b\mid a^{2n}=1,b^{2}=a^{n},b^{-1}ab=a^{-1}\rangle .}$

Les groupes ${\displaystyle Q_{2^{m+2}}:={\rm {Dic}}_{2^{m}}}$ (${\displaystyle m\geq 1}$) sont les groupes quaternioniques (les groupes dicycliques nilpotents). En particulier, ${\displaystyle Q_{8}={\rm {Dic}}_{2}}$ est le groupe des quaternions.

${\displaystyle {\rm {Dic}}_{n}}$ est un groupe non abélien d'ordre 4n, extension par le sous-groupe cyclique engendré par ${\displaystyle a}$ (normal et d'ordre 2n) d'un groupe d'ordre 2. Il est donc résoluble.

Contrairement au groupe diédral D_4n, cette extension n'est pas un produit semi-direct.

Cependant, ${\displaystyle {\rm {Dic}}_{n}}$ est isomorphe à un produit semi-direct pour ${\displaystyle n}$ impair : c'est le produit semi-direct de ${\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }$ par ${\displaystyle \mathbb {Z} /4\mathbb {Z} }$ où ce dernier agit en envoyant la classe de 1 sur l'automorphisme ${\displaystyle x\mapsto -x}$.

${\displaystyle {\rm {Dic}}_{n}}$ est aussi une extension par son centre ${\displaystyle Z({\rm {Dic}}_{n})}$ (le sous-groupe d'ordre 2 engendré par ${\displaystyle a^{n}=b^{2}}$) du groupe D_2n. Cette extension est, elle aussi, non scindée.