Extension de groupes

• L'extension est dite centrale si N est inclus dans le centre de G.
• L'extension triviale de Q par N est celle qui correspond au produit direct N×Q.
• Une section de l'extension${\displaystyle 1{\xrightarrow {}}N{\xrightarrow {i}}G{\xrightarrow {p}}Q{\xrightarrow {}}1}$ est un morphisme${\displaystyle s:Q\to G\quad {\text{tel que}}\quad p\circ s=\mathrm {id} _{Q}.}$L'extension est alors dite scindée. Les extensions scindées de Q par N sont celles qui correspondent aux produits semi-directs ${\displaystyle N\rtimes Q}$.
• Un morphisme d'extensions${\displaystyle {\text{de}}\quad 1{\xrightarrow {}}N{\xrightarrow {i}}G{\xrightarrow {p}}Q{\xrightarrow {}}1\quad {\text{dans}}\quad 1{\xrightarrow {}}N{\xrightarrow {i'}}G'{\xrightarrow {p'}}Q{\xrightarrow {}}1}$est un morphisme${\displaystyle \varphi :G\to G'}$tel que le diagramme associé${\displaystyle {\begin{matrix}&&&G&&&\\&&{\overset {i}{\nearrow }}&&{\overset {p}{\searrow }}&&\\N&&&\downarrow ^{\varphi }&&&Q\\&&{\underset {i'}{\searrow }}&&{\underset {p'}{\nearrow }}&&\\&&&G'&&&\end{matrix}}}$commute, c'est-à-dire tel que${\displaystyle \varphi \circ i=i'\quad {\text{et}}\quad p'\circ \varphi =p.}$Un tel morphisme ${\displaystyle \varphi }$ est toujours un isomorphisme.

N. Bourbaki, Éléments de mathématique, Algèbre, chap. I, § 6

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