Multiplicateur de Schur

En mathématiques, plus précisément en théorie des groupes, le multiplicateur de Schur est le deuxième groupe d'homologie d'un groupe G à coefficients entiers,

H_{2}(G,\mathbb {Z} )

.

Si le groupe est présenté en termes d'un groupe libre F sur un ensemble de générateurs, et d'un sous-groupe normal R engendré par un ensemble de relations sur les générateurs, de sorte que

G\simeq F/R

,

alors, par la formule d'homologie entière de Hopf[1], le multiplicateur de Schur est isomorphe à

(R\cap [F,F])/[F,R]

,

où [A, B] est le sous-groupe engendré par les commutateurs aba⁻¹b⁻¹ pour a dans A et b dans B. Il peut aussi être exprimé en termes de cohomologie, comme

H^{2}(G,\mathbb {C} ^{\times })

où G agit trivialement sur le groupe multiplicatif des nombres complexes non nuls.

Les multiplicateurs de Schur sont d'un intérêt particulier lorsque G est un groupe parfait (un groupe égal à son sous-groupe dérivé). Un groupe G possède une extension centrale universelle (c.-à-d. initiale – donc unique) p : E → G si et seulement s'il est parfait. De plus, E est alors lui aussi parfait et ker(p) est le multiplicateur de Schur de G[2]. Plus explicitement, si le groupe parfait G a une présentation F/R comme ci-dessus, son extension centrale universelle est

1\to (R\cap [F,F])/[F,R]\to [F,F]/[F,R]\to G\to 1

.

L'étude du multiplicateur de Schur, due à Issai Schur[3]^,[4]^,[5], peut être considérée comme le début de la cohomologie des groupes.

Exemple

Le groupe alterné $A n$ est parfait si $n \geq 5$ (car simple et non abélien). Son multiplicateur de Schur est[6] :

H_{2}({\rm {A}}_{n},\mathbb {Z} )={\begin{cases}0&{\text{ si }}n=1,2{\text{ ou }}3,\\\mathbb {Z} /6\mathbb {Z} &{\text{ si }}n=6{\text{ ou }}7,\\\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} &{\text{ sinon.}}\end{cases}}

La représentation standard $A n \to SO n -1$ produit, par restriction de l'extension centrale $0 \to ℤ/2ℤ \to Spin n -1 \to SO n -1 \to 1$ , une extension centrale

0\to \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} \to {\widetilde {{\rm {A}}_{n}}}\to {\rm {A}}_{n}\to 1

qui, si $n \neq 6, 7$ , est l'extension centrale universelle de $A n$ [6].

Notes et références

(de) Heinz Hopf, « Fundamentalgruppe und zweite Bettische Gruppe », Comment. Math. Helv., vol. 14,‎ 1942, p. 257-309 (Math Reviews 0006510, zbMATH 0027.09503).
(en) Robert Steinberg, Lectures on Chevalley Groups, Yale University, 1968 (lire en ligne), p. 74-78.
(de) J. Schur, « Über die Darstellung der endlichen Gruppen durch gebrochene lineare Substitutionen », J. reine angew. Math., vol. 127,‎ 1904, p. 20-50 (lire en ligne).
(de) J. Schur, « Untersuchungen über die Darstellung der endlichen Gruppen durch gebrochene lineare Substitutionen », J. reine angew. Math., vol. 132,‎ 1907, p. 85-137 (lire en ligne).
(de) J. Schur, « Über die Darstellung der symmetrischen und der alternierenden Gruppe durch gebrochene lineare Substitutionen », J. reine angew. Math., vol. 139,‎ 1911, p. 155-250 (lire en ligne).
(en) Charles A. WeibelCharles Weibel, An Introduction to Homological Algebra, CUP, 1994 (lire en ligne), p. 202.

(en) Gregory Karpilovsky, The Schur Multiplier, Oxford University Press, 1987 (ISBN 978-0-19-853554-6)

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[1] (de) Heinz Hopf, « Fundamentalgruppe und zweite Bettische Gruppe », Comment. Math. Helv., vol. 14,‎ 1942, p. 257-309 (Math Reviews 0006510, zbMATH 0027.09503).

[2] (en) Robert Steinberg, Lectures on Chevalley Groups, Yale University, 1968 (lire en ligne), p. 74-78.

[3] (de) J. Schur, « Über die Darstellung der endlichen Gruppen durch gebrochene lineare Substitutionen », J. reine angew. Math., vol. 127,‎ 1904, p. 20-50 (lire en ligne).

[4] (de) J. Schur, « Untersuchungen über die Darstellung der endlichen Gruppen durch gebrochene lineare Substitutionen », J. reine angew. Math., vol. 132,‎ 1907, p. 85-137 (lire en ligne).

[5] (de) J. Schur, « Über die Darstellung der symmetrischen und der alternierenden Gruppe durch gebrochene lineare Substitutionen », J. reine angew. Math., vol. 139,‎ 1911, p. 155-250 (lire en ligne).

[Weibel202-6] (en) Charles A. WeibelCharles Weibel, An Introduction to Homological Algebra, CUP, 1994 (lire en ligne), p. 202.