Groupe complet

En mathématiques, et plus particulièrement en théorie des groupes, un groupe G est dit complet si son centre est réduit à l'élément neutre et tous les automorphismes de G sont intérieurs.

Exemples

On démontre[1] que les groupes symétriques S_n sont complets sauf si n est égal à 2 ou à 6. (Dans le cas n = 2, le centre de S_n n'est pas réduit à l'élément neutre et dans le cas n = 6, S_n admet un automorphisme extérieur[2].) Compte tenu du théorème de Cayley, il en résulte que tout groupe fini peut être plongé dans un groupe complet.
On démontre[3] que le groupe des automorphismes d'un groupe simple non abélien est un groupe complet.

Propriétés

Un groupe G est complet si et seulement si l'homomorphisme canonique $g\mapsto \iota _{g}:x\mapsto gxg^{-1}$ de G dans le groupe Aut(G) des automorphismes de G est un isomorphisme. (Il est injectif lorsque le centre de G est réduit à l'élément neutre et il est surjectif lorsque tout automorphisme de G est intérieur.)
Il en résulte qu'un groupe complet est toujours isomorphe au groupe de ses automorphismes.
La réciproque de l'énoncé précédent n'est pas vraie, en ce sens qu'un groupe peut être isomorphe au groupe de ses automorphismes sans être complet. C'est le cas du groupe diédral d'ordre 8[4] et de celui d'ordre 12. En effet, pour n égal à 3, 4 ou 6, le groupe des automorphismes du groupe diédral D_2n (d'ordre 2n) est isomorphe à D_2n. Pourtant, pour n pair, D_2n n'est pas complet car, par exemple, son centre n'est pas réduit à l'unité (il est d'ordre 2).
Si un groupe complet K est sous-groupe normal d'un groupe G, alors G est produit direct de K et du centralisateur $\ C_{G}(K)$ de K dans G.Justification[5]. Du fait que K est sous-groupe normal de G, il résulte que $\ C_{G}(K)$ est lui aussi sous-groupe normal de G. (On peut le prouver en notant par exemple que d'après le « lemme N/C[6] », $\ C_{G}(K)$ est sous-groupe normal de $\ N_{G}(K)=G.$ ) D'autre part, $\ K\cap C_{G}(K)$ est égal au centre de K et est donc réduit à l'élément neutre. Il reste à prouver que $\ G=KC_{G}(K).$ Soit g un élément de G. Puisque K est normal dans G, l'automorphisme (intérieur) $\ x\mapsto gxg^{-1}$ de G induit un automorphisme de K. Puisque K est complet, cet automorphisme de K est intérieur, donc il existe un élément h de K tel que, pour tout élément k de K, on ait $\ gkg^{-1}=hkh^{-1}.$ Alors $\ h^{-1}g$ appartient à $\ C_{G}(K)$ , donc $\ g$ appartient à $\ KC_{G}(K)$ , donc $\ G=KC_{G}(K).$
Il résulte de l'énoncé précédent qu'un groupe complet est facteur direct de tout groupe dont il est sous-groupe normal. Cette propriété caractérise les groupes complets : si un groupe K est facteur direct de tout groupe dont il est sous-groupe normal, K est complet. (On le démontre[7] assez facilement en utilisant le fait que, d'après les hypothèses, K est facteur direct de son holomorphe.)
On montre facilement[8] que si le centre d'un groupe G est réduit à l'élément neutre, le centre de Aut(G) est lui aussi réduit à l'élément neutre. L'homomorphisme canonique de G dans Aut(G), l'homomorphisme canonique de Aut(G) dans Aut(Aut(G)), etc. sont alors injectifs, et on peut considérer que $G\leq \mathrm {Aut} (G)\leq \mathrm {Aut} (\mathrm {Aut} (G))\leq \ldots$ est une suite croissante de groupes, qu'on appelle la tour des automorphismes de G. Helmut Wielandt a démontré[9] en 1939 que si G est un groupe fini de centre réduit à l'élément neutre, la tour des automorphismes de G est stationnaire, ce qui revient à dire qu'elle comprend un groupe complet.
Si G est un groupe infini dont le centre est réduit à l'élément neutre, la tour des automorphismes de G définie comme ci-dessus n'est pas forcément stationnaire, autrement dit ne comprend pas forcément un groupe complet. Toutefois, on peut définir, pour tout ordinal non vide α, une famille (G_β)_β∈α de groupes en posant G₀ = G et en prenant, pour β > 0, G_β égal à Aut(G_λ) si β a un prédécesseur λ et, dans le cas contraire, en prenant G_β égal à la limite inductive des G_λ, où λ parcourt β. Simon Thomas[10] a démontré[11] en 1985 que, pour tout groupe (fini ou infini) G de centre réduit à l'élément neutre, il existe un ordinal à partir duquel la tour transfinie ainsi construite est constante. Si G est de plus polycyclique (en), cet ordinal est au plus dénombrable[12] ; il est par exemple égal à ω + 1 pour le groupe diédral infini[13]. J. D. Hamkins (en) a étendu le théorème de S. Thomas à tout groupe (de centre non nécessairement trivial, donc pour lequel les morphismes de la tour ne sont pas forcément injectifs)[14]^,[15].

Notes et références

Pour une démonstration, voir par exemple (en) Joseph J. Rotman (en), An Introduction to the Theory of Groups [détail des éditions], 1999, p. 158, aperçu sur Google Livres.
Pour une démonstration, voir par exemple Rotman, p. 160.
Pour une démonstration, voir par exemple Rotman, p. 162.
Voir par exemple Rotman, exerc. 7.15, p. 167.
Voir par exemple Rotman, dém. du théor. 7.15, p. 163.
Voir par exemple Rotman, p. 156.
Pour une démonstration, voir par exemple Rotman, p. 164.
Pour une démonstration, voir par exemple Rotman, p. 162, début de la démonstration du théorème 7.14.
(de) H. Wielandt, « Eine Verallgemeinerung der invarianten Untergruppen », Math. Z.,‎ 1939, p. 209-244. Voir une démonstration dans (en) I. Martin Isaacs (en), Finite Group Theory, AMS, 2008 (lire en ligne), p. 278-284.
(en) « Page de Simon Thomas », sur Université Rutgers.
(en) Simon Thomas, « The automorphism tower problem », Proc. Amer. Math. Soc., vol. 95,‎ 1985, p. 166-168 (lire en ligne). Résultat cité sans démonstration par Rotman, p. 163.
(en) J. A. Hulse, « Automorphism towers of polycyclic groups », Journal of Algebra, vol. 16, n^o 3,‎ 1970, p. 347-398 (DOI 10.1016/0021-8693(70)90015-3), Theorem A1.
Hulse 1970, Theorem 8.3.5.
(en) Joel David Hamkins, « Every group has a terminating transfinite automorphism tower », Proc. Amer. Math. Soc., vol. 126,‎ 1998, p. 3223-3226 (lire en ligne).
(en) Joel David Hamkins, « How tall is the automorphism tower of a group? », dans Yi Zhang, Logic and Algebra, AMS, coll. « Contemporary Mathematics » (n^o 302), 2002 (arXiv math/9808094v1), p. 49-57.

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[1] Pour une démonstration, voir par exemple (en) Joseph J. Rotman (en), An Introduction to the Theory of Groups [détail des éditions], 1999, p. 158, aperçu sur Google Livres.

[2] Pour une démonstration, voir par exemple Rotman, p. 160.

[3] Pour une démonstration, voir par exemple Rotman, p. 162.

[4] Voir par exemple Rotman, exerc. 7.15, p. 167.

[5] Voir par exemple Rotman, dém. du théor. 7.15, p. 163.

[6] Voir par exemple Rotman, p. 156.

[7] Pour une démonstration, voir par exemple Rotman, p. 164.

[8] Pour une démonstration, voir par exemple Rotman, p. 162, début de la démonstration du théorème 7.14.

[9] (de) H. Wielandt, « Eine Verallgemeinerung der invarianten Untergruppen », Math. Z.,‎ 1939, p. 209-244. Voir une démonstration dans (en) I. Martin Isaacs (en), Finite Group Theory, AMS, 2008 (lire en ligne), p. 278-284.

[10] (en) « Page de Simon Thomas », sur Université Rutgers.

[11] (en) Simon Thomas, « The automorphism tower problem », Proc. Amer. Math. Soc., vol. 95,‎ 1985, p. 166-168 (lire en ligne). Résultat cité sans démonstration par Rotman, p. 163.

[12] (en) J. A. Hulse, « Automorphism towers of polycyclic groups », Journal of Algebra, vol. 16, n^o 3,‎ 1970, p. 347-398 (DOI 10.1016/0021-8693(70)90015-3), Theorem A1.

[13] Hulse 1970, Theorem 8.3.5.

[14] (en) Joel David Hamkins, « Every group has a terminating transfinite automorphism tower », Proc. Amer. Math. Soc., vol. 126,‎ 1998, p. 3223-3226 (lire en ligne).

[15] (en) Joel David Hamkins, « How tall is the automorphism tower of a group? », dans Yi Zhang, Logic and Algebra, AMS, coll. « Contemporary Mathematics » (n^o 302), 2002 (arXiv math/9808094v1), p. 49-57.