Formule de Riemann-Hurwitz

En mathématiques, la formule de Riemann-Hurwitz, nommée en l'honneur des mathématiciens Bernhard Riemann et Adolf Hurwitz, décrit les relations entre les caractéristiques d'Euler de deux surfaces lorsque l'une est un revêtement ramifié de l'autre. Ceci, par conséquent, relie la ramification avec la topologie algébrique dans ce cas. C'est un prototype de résultat pour beaucoup d'autres, et est souvent appliqué dans la théorie des surfaces de Riemann (qui est son origine) et des courbes algébriques.

Pour les articles homonymes, voir Théorème de Hurwitz.

Pour une surface orientable S, la caractéristique d'Euler ${\displaystyle \chi (S)}$ est

${\displaystyle 2-2g\,}$

où g est le genre (le nombre de trous), puisque les nombres de Betti sont 1, 2g, 1, 0, 0, ... Dans le cas d'un revêtement non ramifié de surfaces

${\displaystyle \pi :S'\rightarrow S\,}$

qui est surjectif et de degré N, nous avons

${\displaystyle \chi (S')=N\chi (S)\,}$,

parce que chaque simplexe de S doit être couvert par exactement N dans S′ — au moins si nous utilisons une triangulation suffisamment bonne de S, comme nous avons le droit de le faire puisque la caractéristique d'Euler est un invariant topologique. Ce que fait la formule de Riemann-Hurwitz, est d'ajouter une correction qui tienne compte de la ramification (feuilles se rejoignant).

Proche d'un point P de S où e feuilles se rejoignent, ${\displaystyle e=e_{P}}$ étant appelé l'indice de ramification, nous notons la perte de ${\displaystyle e-1}$ copies de P au-dessus de P (dans ${\displaystyle \pi ^{-1}(P)}$). Par conséquent, nous pouvons prévoir une formule « corrigée »

${\displaystyle \chi (S')=N\chi (S)-\Sigma (e_{P}-1)\,}$

la somme étant prise sur tous les P dans S (presque tous les P ont ${\displaystyle e_{P}=1}$ donc la somme est finie). Ceci est la formule de Riemann-Hurwitz, mais pour un cas particulier – bien qu'important : celui où il existe juste un point où les feuilles au-dessus de P se rejoignent, ou de manière équivalente la monodromie locale est une permutation circulaire). Dans le cas le plus général, la somme finale doit être remplacée par la somme de termes

${\displaystyle e_{P}-c_{P}\,}$

où ${\displaystyle c_{P}}$ est le nombre de points de S′ au-dessus de P, ou de manière équivalente le nombre de cycles de la monodromie locale agissant sur les feuilles.

Par exemple, toute courbe elliptique (genre 1) s'applique vers la droite projective (genre 0) comme un double revêtement (N = 2), avec une ramification à seulement quatre points, où e = 2. Nous pouvons vérifier que ceci donne

0 = 2.2 - Σ 1,

avec la somme prise sur les quatre valeurs de P. Ce revêtement provient de la fonction ${\displaystyle \wp }$ de Weierstrass qui est une fonction méromorphe, considérée comme à valeurs dans la sphère de Riemann. La formule peut aussi être utilisée pour vérifier la valeur de la formule du genre des courbes hyperelliptiques.

Un autre exemple : la sphère de Riemann s'applique sur elle-même par la fonction ${\displaystyle z^{n}}$, d'indice de ramification n en 0, pour tout entier n > 1. Le seul autre point de ramification possible est le point à l'infini. Pour équilibrer l'équation

${\displaystyle 2=n\cdot 2-(n-1)-(e_{\infty }-1)\,}$,

l'indice de ramification en l'infini doit être lui aussi égal à n.

La formule peut être utilisée pour démontrer des théorèmes. Par exemple, elle montre immédiatement qu'une courbe de genre 0 ne possède pas de revêtement avec N > 1 qui soit non ramifié partout : parce que cela donnerait lieu à une caractéristique d'Euler > 2.

Pour une correspondance de courbes, il existe une formule plus générale, le théorème de Zeuthen, qui donne une correction de la première approximation de la ramification en énonçant en que les caractéristiques d'Euler sont en rapport inverse des degrés des correspondances.