Fonction implicite

En mathématiques, une équation entre différentes variables où une variable n'est pas explicitée en fonction des autres est appelée une équation implicite. Une fonction implicite est une fonction qui se déduit implicitement d'une telle équation.

Plus précisément si $f$ est une fonction de E × F dans G, où E, F et G sont des espaces vectoriels normés ou plus simplement des intervalles de R, l'équation $f (x, y) = 0$ définit une fonction implicite si l'on peut exprimer une des variables en fonction de l'autre pour tous les couples $(x, y)$ vérifiant l'équation.

Ou encore, l'équation $f (x, y) = 0$ définit une fonction implicite de E vers F, s'il existe une fonction $φ$ dite implicite telle que , pour tout $(x, y)$ de E × F, $f (x, y) = 0$ équivaut à $y = φ (x)$ . Cela revient à dire que le graphe de la relation binaire : $x R y ssi f (x, y) = 0$ est le graphe d'une fonction.

Il est parfois possible de prouver l'existence locale d'une fonction implicite pour une équation touchant deux variables réelles, sans l'exhiber explicitement, les conditions suffisantes d'existence et d'unicité d'une telle fonction sont détaillées dans l'article : théorème des fonctions implicites.

Exemples

l'équation $x 2 + y 2 = 1$ ne définit pas de fonction implicite pour $y$ quelconque, mais pour $y$ positif, cette équation est équivalente à $y = \sqrt 1 - x 2$ et $φ : x \to \sqrt 1 - x 2$ est la fonction explicite associée à l'équation.
l'équation $x 2 + y 2 + ln z = 0$ permet de définir la fonction implicite $φ : (x, y) \to exp(- x 2 - y 2)$ .
si $f$ est une bijection de E vers F, l'équation $y = f (x)$ induit une fonction implicite de F vers E appelée application réciproque et notée $f -1$ .

Dérivée d'une fonction implicite

Il est parfois possible et plus simple de dériver une fonction implicite sous sa forme non explicite.

Si $f$ est une fonction numérique de deux variables réelles, continue au voisinage de $(x 0, y 0)$ et différentiable en $(x 0, y 0)$ , et si la dérivée partielle de $f$ par rapport à la seconde variable est continue et ne s'annule pas en $(x 0, y 0)$ , la dérivée de $φ$ en $x 0$ est[1]:

$\varphi '(x_{0})=-{\frac {f_{x}'(x_{0},y_{0})}{f_{y}'(x_{0},y_{0})}}.$

Cette formule peut s'expliquer[2] en remarquant que le gradient de $f$ en $(x 0, y 0)$ a pour coordonnées : ${\overrightarrow {\mathrm {grad} }}~f(x_{0},y_{0})={\begin{pmatrix}f_{x}'(x_{0},y_{0})\\f_{y}'(x_{0},y_{0})\end{pmatrix}}$

et indique la direction de plus forte variation de $f$ , tandis que le vecteur $N={\begin{pmatrix}1\\-{\frac {f_{x}'(x_{0},y_{0})}{f_{y}'(x_{0},y_{0})}}\end{pmatrix}}$ qui lui est normal indique la direction de variation nulle, c'est-à-dire la direction de la tangente à la courbe d'équation $f (x, y) = 0$ .

Exemple : l'équation $x 2 + y 2 = 1$ est associée à la fonction $f : (x, y) \to x 2 + y 2 - 1$ qui est de classe C¹, c'est-à-dire qu'elle est différentiable de différentielle continue. Comme $f_{x}'(x_{0},y_{0})=2x_{0}$ et $f_{y}'(x_{0},y_{0})=2y_{0}$ , pour tout point $(x 0, y 0)$ , avec $y 0 = φ (x 0)$ non nul, on a $\varphi '(x_{0})=-{\frac {2x_{0}}{2y_{0}}}=-{\frac {x_{0}}{\sqrt {1-x_{0}^{2}}}}.$

Une telle dérivation peut être utile dans le cas où la fonction est impossible à expliciter

Exemple : L'équation $y 5 + x 2 y + 2 = 0$ est associée à une fonction $f$ de classe C¹. Le graphe de l'équation est celui d'une fonction car, pour tout valeur de x, il existe au plus une valeur de y rendant vraie l'égalité. Comme $f_{x}'(x_{0},y_{0})=2x_{0}y_{0}$ et $f_{y}'(x_{0},y_{0})=5y_{0}^{4}+x_{0}^{2}$ pour tout point $(x 0, y 0)$ , avec $y 0 = φ (x 0)$ , on a $\varphi '(x_{0})=-{\frac {2x_{0}y_{0}}{5y_{0}^{4}+x_{0}^{2}}}.$ En particulier, pour $x 0 = 1$ et $y 0 = -1$ , $φ' (1) = 1/3$

Voir aussi

Équation cartésienne

Notes et références

Lelong-Ferrand et Arnaudiès 1977, p. 235
Pour une démonstration complète voir tout livre d'analyse post bac, par exemple Lelong-Ferrand et Arnaudiès 1977, p. 236-237 ou Claude Deschamps et André Warusfel, Mathématiques 1^e année PMSI, PCSI, PTSI, Dunod, coll. « J'intègre », 1999, pp=1019-1022.

Bibliographie

Jacqueline Lelong-Ferrand et Jean-Marie Arnaudiès, Cours de mathématiques : Analyse, t. 2, Dunod, 1977

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[1] Lelong-Ferrand et Arnaudiès 1977, p. 235

[2] Pour une démonstration complète voir tout livre d'analyse post bac, par exemple Lelong-Ferrand et Arnaudiès 1977, p. 236-237 ou Claude Deschamps et André Warusfel, Mathématiques 1^e année PMSI, PCSI, PTSI, Dunod, coll. « J'intègre », 1999, pp=1019-1022.