Fonction de couplage

En mathématiques, une fonction de couplage, est une méthode permettant d’attribuer de manière unique un entier naturel à un couple d'entiers naturels.

En théorie des ensembles, on peut utiliser n'importe quelle fonction de couplage pour prouver que l'ensemble des entiers relatifs et celui des nombres rationnels ont la même cardinalité que l'ensemble des entiers naturels. En théorie de la calculabilité, la fonction de couplage de Cantor est utilisée pour coder k-uplets, ainsi une fonction de $N k \to N$ peut être représentée par une fonction de $N \to N$ .

Définition

Une fonction de couplage est une bijection calculable de $N \times N$ dans $N$ .

Fonction de couplage de Cantor

Numérotation des éléments de N x N par la fonction de couplage de Cantor.

La fonction de couplage de Cantor ${\displaystyle \pi$ est définie par

\pi (x,y):={\frac {(x+y+1)(x+y)}{2}}+y.

Le théorème de Fueter-Pólya énonce que cette fonction est, avec la fonction $(x,y)\mapsto \pi (y,x)$ , la seule fonction de couplage quadratique. En revanche, savoir s'il s'agit de la seule fonction polynomiale de couplage est encore une question ouverte. On note parfois $\langle x,y\rangle$ le résultat de la fonction de couplage sur les entrées $x$ et $y$ .

La fonction de Cantor peut être généralisée de la manière suivante :

\pi ^{(n)}:\mathbb {N} ^{n}\to \mathbb {N}

avec

\pi ^{(n)}(k_{1},\ldots ,k_{n-1},k_{n}):=\pi (\pi ^{(n-1)}(k_{1},\ldots ,k_{n-1}),k_{n}).

Construction graphique

Cette autre progression en diagonale, analogue mais différente de celle de la fonction de Cantor, fournit une autre fonction de couplage. Ici elle est utilisée pour prouver la dénombrabilité des nombres rationnels.

La fonction de couplage de Cantor est définie en parcourant $\mathbb {N} ^{2}$ par diagonales successives.

En suivant l'énumération diagonale par diagonale La fonction de couplage de Cantor vérifie :

\pi (0,0)=0

;

\pi (x+1,0)=\pi (0,x)+1

;

\pi (x,y+1)=\pi (x+1,y)+1

;

ce qui fournit définition récursive de la fonction (le couple (x + y, x) décroît strictement à chaque appel récursif pour l'ordre lexicographique ).

Pour tout $t\in \mathbb {N}$ , la diagonale d'équation $x+y=t$ contient $t+1$ points (de $(t,0)$ à $(0,t)$ ). Le nombre de points des diagonales qui précèdent celle du couple $(x,y)$ est donc égal à $\sum _{0\leq t<x+y}(t+1)=\sum _{1\leq s\leq x+y}s={\frac {(x+y)(x+y+1)}{2}}$ (le $(x+y)$ -ième nombre triangulaire). Par conséquent l'image du couple $(x,y)$ est donnée par :

\pi (x,y)={\frac {(x+y)(x+y+1)}{2}}+y

.

Bijection réciproque

D'après la construction ci-dessus, $\pi$ est bijective, c'est-à-dire que pour tout $z\in \mathbb {N}$ , il existe un unique couple $(x,y)\in \mathbb {N} ^{2}$ tel que $z=\pi (x,y)$ .

Retrouvons-le par analyse-synthèse en cherchant $(x,y,w)\in \mathbb {N} ^{3}$ tel que $w=x+y$ et ${\frac {w(w+1)}{2}}+y=z$ .

Ces deux équations impliquent

{\frac {w(w+1)}{2}}\leq z<{\frac {w(w+1)}{2}}+w+1={\frac {w(w+3)}{2}}+1={\frac {(w+1)(w+2)}{2}}

,

donc $w$ est nécessairement l'unique entier naturel tel que

z\in \left[{\frac {w(w+1)}{2}},{\frac {(w+1)(w+2)}{2}}\right[

,

puis $y=z-{\frac {w(w+1)}{2}}$ et $x=w-y$ , ce qui prouve l'injectivité.

Réciproquement, le triplet $(x,y,w)\in \mathbb {N} ^{3}$ ainsi construit à partir de $z$ vérifie bien les deux équations, ce qui prouve la surjectivité.

La bijection réciproque de $\pi$ est donc donnée par :

\pi ^{-1}(z)=\left({\frac {w(w+3)}{2}}-z,z-{\frac {w(w+1)}{2}}\right)

avec

w

égal à la partie entière du réel

w':={\frac {-1+{\sqrt {1+8z}}}{2}}

(solution de l'équation du second degré

z={\frac {w'(w'+1)}{2}}

).

Notes et références

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Pairing function » (voir la liste des auteurs).

Voir aussi

Article connexe

Déployeur universel

Liens externes

(en) Steven Pigeon, « Pairing function », sur MathWorld
(en) Matthew Szudzik, « An Elegant Pairing Function », Wolfram Research, 2006

Portail des mathématiques

Cet article est issu de Wikipedia. Le texte est sous licence Creative Commons - Attribution - Partage dans les Mêmes. Des conditions supplémentaires peuvent s'appliquer aux fichiers multimédias.