Cardinalité (mathématiques)

Un ensemble ${\displaystyle E}$ est dit fini s'il est vide ou s'il existe un entier naturel ${\displaystyle n}$ non nul et une suite finie ${\displaystyle (x_{1},\ldots ,x_{n})}$ d'éléments de ${\displaystyle E}$ dans laquelle chaque élément de ${\displaystyle E}$ apparait exactement une fois. Autrement dit, un ensemble non vide est fini s'il est en bijection avec un intervalle d'entiers ${\displaystyle \{1,\ldots ,n\}}$.

La propriété fondamentale pour bien définir le cardinal d'un ensemble fini est l'unicité de l'entier ${\displaystyle n}$ correspondant. En effet, si un ensemble est en bijection avec deux intervalles d'entiers ${\displaystyle \{1,\ldots ,n\}}$ et ${\displaystyle \{1,\ldots ,p\}}$, alors ${\displaystyle n=p}$.

Soit ${\displaystyle E}$ et ${\displaystyle F}$ deux ensembles finis de cardinaux respectifs ${\displaystyle k}$ et ${\displaystyle n}$.

• Si ${\displaystyle E}$ et ${\displaystyle F}$ peuvent être mis en bijection, alors ${\displaystyle k=n}$.

• Tout sous-ensemble de ${\displaystyle E}$ est fini et de cardinal inférieur à ${\displaystyle k}$.
• Tout sous-ensemble strict de ${\displaystyle E}$ est de cardinal strictement inférieur[2] à ${\displaystyle k}$.
• Si ${\displaystyle A}$ est un sous-ensemble de ${\displaystyle E}$ alors le cardinal de son complémentaire est donné par la formule :

  ${\displaystyle \mathrm {Card} (E\setminus A)=\mathrm {Card} (E)-\mathrm {Card} (A).}$

• L'union et l'intersection de deux parties ${\displaystyle A}$ et ${\displaystyle B}$ de ${\displaystyle E}$ sont reliées par la formule :

  ${\displaystyle \mathrm {Card} (A\cup B)=\mathrm {Card} (A)+\mathrm {Card} (B)-\mathrm {Card} (A\cap B).}$

• L'union disjointe de ${\displaystyle E}$ et ${\displaystyle F}$ est finie de cardinal la somme ${\displaystyle k+n}$.
• Le produit cartésien de ${\displaystyle E}$ et ${\displaystyle F}$ est fini de cardinal le produit ${\displaystyle k\times n}$.
• L'ensemble des applications de ${\displaystyle E}$ dans ${\displaystyle F}$ est fini et de cardinal la puissance ${\displaystyle n^{k}}$ (avec la convention ${\displaystyle 0^{0}=1}$ si les deux ensembles sont vides).
• L'ensemble des parties de ${\displaystyle E}$ est fini de cardinal ${\displaystyle 2^{k}}$.
• L'ensemble des injections de ${\displaystyle E}$ dans ${\displaystyle F}$ est vide si ${\displaystyle k>n}$ et de cardinal donné par le quotient de factorielles ${\displaystyle n!/(n-k)!}$ sinon.
• En particulier, l'ensemble des permutations de ${\displaystyle E}$ est de cardinal ${\displaystyle k!}$.
• Le cardinal de l'ensemble des surjections de ${\displaystyle E}$ dans ${\displaystyle F}$ est donné par la somme suivante (qui est nulle si ${\displaystyle k<n}$ ) :

  ${\displaystyle \sum _{i=0}^{n}(-1)^{i}{\frac {n!}{i!(n-i)!}}(n-i)^{k}.}$

D'autres constructions usuelles à partir d'ensembles finis ont des cardinaux décrits par des formules explicites.