Fonction d'activation

Les fonctions d'activation sont utilisées selon leurs caractéristiques :

• Non-linéarité : Quand une fonction est non linéaire, un réseau neuronal à 2 couches peut être considéré comme un approximateur de fonction universel[1]. Note: La fonction identité a l'effet inverse, rendant un réseau neuronal multicouches équivalent à un réseau neuronal à une mono-couche.
• Partout différentiable : Cette propriété permet de créer des optimisations basées sur les gradients[2].
• Étendue : Quand la plage d'activation est finie, les méthodes d'apprentissage basées sur les gradients sont plus stables (impact sur un nombre de poids limités). Quand la plage est infinie, l'apprentissage est généralement plus efficace (impact sur davantage de poids).
• Monotone: Lorsque la fonction est monotone, la surface d'erreur associée avec un modèle monocouche est certifié convexe[3].
• Douce (dérivée monotone) : Les fonctions à dérivée monotone ont été montrées comme ayant une meilleure capacité à généraliser dans certains cas. Ces fonctions permettent d'appliquer des principes comme le rasoir d'Ockham[4].
• Identité en 0 (${\displaystyle f(x)\approx x}$ quand ${\displaystyle x\approx 0}$) : Ces fonctions permettent de faire un apprentissage rapide en initialisant les poids de manière aléatoire. Si la fonction ne converge pas vers l'identité en 0, alors un soin spécial doit être apporté lors de l'initialisation des poids[5].

Comparatif des principales fonctions, avec leur étendue, leur continuité, si elles sont monotones, douces et si elles convergent vers l'identité en 0.

Nom	Graphe	Équation	Dérivée	Étendue	Ordre de continuité	Monotone	Douce (dérivée monotone)	Identité en 0
Identité/Rampe		${\displaystyle f(x)=x}$	${\displaystyle f'(x)=1}$	${\displaystyle (-\infty ,\infty )}$	${\displaystyle C^{\infty }}$	Oui	Oui	Oui
Marche/Heaviside		${\displaystyle f(x)=\left\{{\begin{array}{rcl}0&{\mbox{si}}&x<0\\1&{\mbox{si}}&x\geq 0\end{array}}\right.}$	${\displaystyle f'(x)=\left\{{\begin{array}{rcl}0&{\mbox{si}}&x\neq 0\\?&{\mbox{si}}&x=0\end{array}}\right.}$	${\displaystyle \{0,1\}}$	${\displaystyle C^{-1}}$	Oui	Non	Non
Logistique (ou marche douce, ou sigmoïde)		${\displaystyle f(x)={\frac {1}{1+{\rm {e}}^{-x}}}}$	${\displaystyle f'(x)=f(x)(1-f(x))}$	${\displaystyle (0,1)}$	${\displaystyle C^{\infty }}$	Oui	Non	Non
Tangente hyperbolique		${\displaystyle f(x)=\tanh(x)={\frac {2}{1+{\rm {e}}^{-2x}}}-1}$	${\displaystyle f'(x)=1-f(x)^{2}}$	${\displaystyle (-1,1)}$	${\displaystyle C^{\infty }}$	Oui	Non	Oui
Arc tangente		${\displaystyle f(x)=\tan ^{-1}(x)}$	${\displaystyle f'(x)={\frac {1}{x^{2}+1}}}$	${\displaystyle (-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}})}$	${\displaystyle C^{\infty }}$	Oui	Non	Oui
Signe doux [6]		${\displaystyle f(x)={\frac {x}{1+|x|}}}$	${\displaystyle f'(x)={\frac {1}{(1+|x|)^{2}}}}$	${\displaystyle (-1,1)}$	${\displaystyle C^{1}}$	Oui	Non	Oui
Unité de rectification linéaire (ReLU)[7]		${\displaystyle f(x)=\left\{{\begin{array}{rcl}0&{\mbox{si}}&x<0\\x&{\mbox{si}}&x\geq 0\end{array}}\right.}$	${\displaystyle f'(x)=\left\{{\begin{array}{rcl}0&{\mbox{si}}&x<0\\1&{\mbox{si}}&x\geq 0\end{array}}\right.}$	${\displaystyle [0,\infty [}$	${\displaystyle C^{0}}$	Oui	Oui	Oui
Unité de rectification linéaire paramétrique (PReLU)[8]		${\displaystyle f(x)=\left\{{\begin{array}{rcl}\alpha x&{\mbox{si}}&x<0\\x&{\mbox{si}}&x\geq 0\end{array}}\right.}$	${\displaystyle f'(x)=\left\{{\begin{array}{rcl}\alpha &{\mbox{si}}&x<0\\1&{\mbox{si}}&x\geq 0\end{array}}\right.}$	${\displaystyle (-\infty ,\infty )}$	${\displaystyle C^{0}}$	Oui	Oui	Oui
Unité exponentielle linéaire (ELU)[9]		${\displaystyle f(x)=\left\{{\begin{array}{rcl}\alpha ({\rm {e}}^{x}-1)&{\mbox{si}}&x<0\\x&{\mbox{si}}&x\geq 0\end{array}}\right.}$	${\displaystyle f'(x)=\left\{{\begin{array}{rcl}f(x)+\alpha &{\mbox{si}}&x<0\\1&{\mbox{si}}&x\geq 0\end{array}}\right.}$	${\displaystyle (-\alpha ,\infty )}$	${\displaystyle C^{1}}$ si ${\displaystyle \alpha =1}$	Oui	Oui	Oui, ssi${\displaystyle \alpha \approx 1}$
Unité de rectification linéaire douce (SoftPlus)[10]		${\displaystyle f(x)=\ln(1+{\rm {e}}^{x})}$	${\displaystyle f'(x)={\frac {1}{1+{\rm {e}}^{-x}}}}$	${\displaystyle (0,\infty )}$	${\displaystyle C^{\infty }}$	Oui	Oui	Non
Identité courbée		${\displaystyle f(x)={\frac {{\sqrt {x^{2}+1}}-1}{2}}+x}$	${\displaystyle f'(x)={\frac {x}{2{\sqrt {x^{2}+1}}}}+1}$	${\displaystyle (-\infty ,\infty )}$	${\displaystyle C^{\infty }}$	Oui	Oui	Oui
Exponentielle douce paramétrique (soft exponential) [11]		${\displaystyle f(\alpha ,x)=\left\{{\begin{array}{rcl}-{\frac {\ln(1-\alpha (x+\alpha ))}{\alpha }}&{\mbox{si}}&\alpha <0\\x&{\mbox{si}}&\alpha =0\\{\frac {{\rm {e}}^{\alpha x}-1}{\alpha }}+\alpha &{\mbox{si}}&\alpha >0\end{array}}\right.}$	${\displaystyle f'(\alpha ,x)=\left\{{\begin{array}{rcl}{\frac {1}{1-\alpha (\alpha +x)}}&{\mbox{si}}&\alpha <0\\{\rm {e}}^{\alpha x}&{\mbox{si}}&\alpha \geq 0\end{array}}\right.}$	${\displaystyle (-\infty ,\infty )}$	${\displaystyle C^{\infty }}$	Oui	Oui	Oui, ssi${\displaystyle \alpha \approx 0}$
Sinusoïde		${\displaystyle f(x)=\sin(x)}$	${\displaystyle f'(x)=\cos(x)}$	${\displaystyle [-1,1]}$	${\displaystyle C^{\infty }}$	Non	Non	Oui
Sinus cardinal		${\displaystyle f(x)=\left\{{\begin{array}{rcl}1&{\mbox{si}}&x=0\\{\frac {\sin(x)}{x}}&{\mbox{si}}&x\neq 0\end{array}}\right.}$	${\displaystyle f'(x)=\left\{{\begin{array}{rcl}0&{\mbox{si}}&x=0\\{\frac {\cos(x)}{x}}-{\frac {\sin(x)}{x^{2}}}&{\mbox{si}}&x\neq 0\end{array}}\right.}$	${\displaystyle [\approx -.217234,1]}$	${\displaystyle C^{\infty }}$	Non	Non	Non
Fonction gaussienne		${\displaystyle f(x)={\rm {e}}^{-x^{2}}}$	${\displaystyle f'(x)=-2x{\rm {e}}^{-x^{2}}}$	${\displaystyle ]0,1]}$	${\displaystyle C^{\infty }}$	Non	Non	Non

Une classe spéciale de fonction d'activation est regroupée dans les fonctions à base radiale (RBFs) . Elles sont souvent utilisées dans les réseaux neuronaux RBF, très efficaces en tant qu'approximations de fonction universels. si ces fonctions peuvent être très variées, on retrouve généralement une des trois formes suivantes (en fonction d'un vecteur v :

• Fonction gaussienne : ${\displaystyle \,\phi (v_{i})=\exp \left(-{\frac {\|v_{i}-c_{i}\|^{2}}{2a^{2}}}\right)}$
• Fonction multiquadratique : ${\displaystyle \,\phi (v_{i})={\sqrt {\|v_{i}-c_{i}\|^{2}+a^{2}}}}$
• Fonction multiquadratique inverse: ${\displaystyle \,\phi (v_{i})={\frac {1}{\sqrt {\|v_{i}-c_{i}\|^{2}+a^{2}}}}}$

où c_i est le vecteur représentant le centre de la fonction, a est un paramètre permettant de régler l'étalement de la fonction.

Les machines à support vectoriel (SVMs) peuvent utiliser une classe de fonctions d'activation qui inclut à la fois les sigmoïdes et les RBF. Dans ce cas, l'entrée est transformée pour refléter un decision boundary hyperplane, basé sur peu d'entrées (appelées vecteurs support x. La fonction d'activation pour les couches cachées de ces machines est souvent appelée "noyau du produit intérieur" : ${\displaystyle K(v_{i},x)=\phi (v_{i})}$. Les vecteurs supports sont représentés comme les centres de RBF dont le noyau serait égal aux fonctions d'activation, mais ils prennent une unique forme de perceptron :

${\displaystyle \,\phi (v_{i})=\tanh \left(\beta _{1}+\beta _{0}\sum _{j}v_{i,j}x_{j}\right)}$,

Où ${\displaystyle \beta _{0}}$ et ${\displaystyle \beta _{1}}$ doivent satisfaire certains critères de convergence. Ces machines peuvent aussi accepter des fonctions d'activation polynomiale d'un ordre arbitraire :

${\displaystyle \,\phi (v_{i})=\left(1+\sum _{j}v_{i,j}x_{j}\right)^{p}}$[12].

• Fonction logistique
• Réseau de neurones artificiels

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