Fonction bêta de Dirichlet

En mathématiques, la fonction β de Dirichlet, aussi appelée fonction ζ de Catalan, est un des exemples les plus simples de fonction L, après la fonction zêta de Riemann. C'est la fonction L de Dirichlet associée au caractère de Dirichlet alterné de période 4.

Elle est définie, pour tout complexe $s$ de partie réelle strictement positive, par la série :

\beta (s)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)^{s}}}

,

ou par l'intégrale

\beta (s)={\frac {1}{\Gamma (s)}}\int _{0}^{\infty }{\frac {x^{s-1}\mathrm {e} ^{x}}{\mathrm {e} ^{2x}+1}}\,dx

.

Autrement, on peut définir la fonction bêta de Dirichlet par la fonction zêta de Hurwitz, qui est valable pour tous nombres complexes :

\beta (s)=4^{-s}\left(\zeta (s,1/4)-\zeta (s,3/4)\right)

.

Ou par une autre définition équivalente, du point de vue de la fonction transcendante de Lerch :

\beta (s)=2^{-s}\Phi \left(-1,s,{\frac {1}{2}}\right)

,

qui est aussi valable pour tous nombres complexes.

Cette fonction se prolonge en une fonction méromorphe sur le plan complexe.

Équation fonctionnelle

L'équation fonctionnelle suivante permet d'étendre la fonction β à la partie gauche du plan complexe Re(s) < 1.

\beta (s)=\left({\frac {\pi }{2}}\right)^{s-1}\Gamma (1-s)\cos \left({\frac {\pi s}{2}}\right)\,\beta (1-s)

où $Γ$ est la fonction gamma d'Euler.

On peut noter les valeurs particulières suivantes :

$\beta (0)={\frac {1}{2}}$ ,
$\beta (1)={\frac {\pi }{4}}$ [1],
$\beta (2)=$ la constante de Catalan,
$\beta (3)={\frac {\pi ^{3}}{32}}$ ,
$\beta (4)={\frac {\psi _{3}\left(1/4\right)-8\pi ^{4}}{768}}$ , où $\psi _{3}$ est la fonction polygamma d'indice 3,
$\beta (5)={\frac {5\pi ^{5}}{1536}}$ ,
$\beta (7)={\frac {61\pi ^{7}}{184320}}$ .

Plus généralement, les valeurs prises par la fonction β aux entiers positifs impairs sont des multiples rationnels de puissances de π.

$\beta (2k+1)={\frac {E_{2k}}{2(2k)!}}\left({\frac {\pi }{2}}\right)^{2k+1}$ ,
où les $E_{2k}$ sont des nombres d'Euler. Et les valeurs de β aux entiers négatifs pairs sont données aussi par les nombres d'Euler avec :
$\beta (-k)={{E_{k}} \over 2}$ .

Par contre, on ne connaît pas grand chose sur les valeurs aux entiers positifs pairs.

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Dirichlet beta function » (voir la liste des auteurs).

(en) Lennart Råde et Bertil Westergren, Mathematics Handbook for Science and Engineering, 2004, 562 p. (ISBN 978-3-540-21141-9, lire en ligne), p. 423.

(en) J. Spanier et K. B. Oldham, An Atlas of Functions, Hemisphere, New York, 1987
(en) Michael A. Idowu, « Fundamental relations between the Dirichlet beta function, euler numbers, and Riemann zeta function », 2012 (arXiv 1210.5559)

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