Métrique riemannienne

• Sur un fibré vectoriel E→M, une métrique riemannienne g est la donnée d'un produit scalaire g_x sur chaque fibre E_x qui dépend de manière lisse du point de base x variant dans M. Plus formellement, x↦g_x est une section en tout point définie positive du fibré vectoriel S²E→M des formes bilinéaires symétriques. On dit que la donnée (E,g) est un fibré riemannien.

Pour deux fibrés riemanniens (E,g) et (F,g' ) sur M, un morphisme de fibrés riemanniens f:(E,g)→(E,g' ) est un morphisme de fibrés vectoriels f:E→E' tel que, pour tout point x de M, l'application linéaire f_x:E_x→F_x est une isométrie linéaire, c'est-à-dire :${\displaystyle \forall v,w\in E_{x},\quad g'_{x}(f_{x}(v),f_{x}(w))=g_{x}(v,w).}$

• Si M est une variété différentielle, une métrique riemannienne sur M est simplement une métrique riemannienne sur son fibré tangent. La donnée (M,g) est une variété riemannienne.

Étant données deux variétés riemanniennes (M,g) et (N,g' ), une isométrie F:(M,g)→(N,g' ) est une application différentiable F:M→N telle que l'application tangente dF:(TM,g)→(TN,g' ) est un morphisme de fibrés riemanniens. Cette dernière condition se réécrit : F*g'=g.

• Tout produit scalaire ${\displaystyle <,>}$ sur ℝⁿ induit sur tout fibré vectoriel trivial M×ℝⁿ→M une métrique riemannienne : ${\displaystyle g_{x}((x,v),(x,w))=<v,w>.}$
• Soient g une métrique riemannienne sur E→M et P une variété. Pour une fonction différentiable ψ:P→M, il existe sur le fibré vectoriel tiré en arrièreFibré induit ψ*E→P une unique métrique riemannienne ψ*g telle que le morphisme naturel ψ*E→E soit un isomorphisme de fibrés riemanniens.
• Si g est une métrique riemannienne sur E→M, alors, par restriction, g définit une métrique riemannienne sur tout sous-fibré vectoriel de E.
• La limite de la métrique de Minkowski ${\displaystyle {\rm {d}}s^{2}=c^{2}{\rm {d}}t^{2}-{\rm {d}}x^{2}-{\rm {d}}y^{2}-{\rm {d}}z^{2}}$ quand c tend vers l'infini est une métrique de fibré. Le temps devient absolu et l'espace-temps se fibre dessus, on retrouve la transformation de Galilée. A deux instants différents la métrique est la différence des temps. Au même instant, dans une fibre d'espace isomorphe à ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$, la métrique est le produit scalaire usuel.

• Sur tout fibré vectoriel de base paracompacte, il existe une métrique riemannienne.

Démonstrations

• Preuve via une partition de l'unité.

Pour tout ouvert U suffisamment petit de M, le fibré vectoriel π^-1(U)→U est trivialisable. Or, par ci-dessus, tout fibré vectoriel trivialisable admet une métrique riemannienne. Donc, il existe une métrique riemannienne g^U sur π^-1(U).

En utilisant la paracompacité de M, il existe un recouvrement dénombrable (U_n)_n∈ℕ de M tel que, pour tout entier n, il existe une métrique riemannienne g_n sur le fibré vectoriel π^-1(U_n)→U_n. Soit (ϕ_n)_n∈ℕ une partition de l'unité subordonnée à (U_n)_n∈ℕ. L'application x↦ϕ_n(x)g_n(x) est une section globale de S²π^-1(U_n)→U_n nulle au voisinage de la frontière ∂U_n. Elle se prolonge par ${\displaystyle 0}$ en une section globale de S²E→M, abusivement notée x↦ϕ_n(x)g_n(x).

On pose alors :${\displaystyle g=\sum _{n\in \mathbb {N} }\phi _{n}g_{n}:x\mapsto \sum _{n\in \mathbb {N} }\phi _{n}(x)g_{n}(x)}$. C'est une section de S²E→M, et elle bien définie positive en tout point ${\displaystyle x}$ de M : si ${\displaystyle x}$ appartient à l'intérieur du support de ${\displaystyle \phi _{n}}$, et pour tout vecteur non nul ${\displaystyle v}$ de ${\displaystyle E_{x}}$,${\displaystyle g(v,v)\geq \phi _{n}(x)g_{x}^{n}(v,v)>0}$.

• Preuve via un plongement.

Il existe un fibré vectoriel F→M tel que E⊕F→M soit trivialisable. On utilise à ce niveau la paracompacité de M. Il existe donc une métrique riemannienne sur E⊕F→M qui se restreint en une métrique riemannienne sur E→M.

Bien que plus court en apparence, ce second argument dissimule la difficulté dans l'existence de ${\displaystyle F}$. Cette existence fait aussi appel à un argument de partition de l'unité.

En particulier :

• Sur toute variété différentielle paracompacte, il existe une métrique riemannienne.

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