Facteur de forme (rayonnement thermique)

Description géométrique du problème.

Deux surfaces élémentaires ${\displaystyle \mathrm {d} S_{i}}$ et ${\displaystyle \mathrm {d} S_{j}}$ distantes de ${\displaystyle r_{ij}}$ échangent du rayonnement. Le flux spectral reçu par ${\displaystyle \mathrm {d} S_{j}}$ est

${\displaystyle \mathrm {d} M_{\nu _{j}}=L_{\nu _{i}}\,\mathrm {d} S_{i}\cos \theta _{i}\,\mathrm {d} \Omega _{ij}}$

où ${\displaystyle \mathrm {d} \Omega _{ij}={\frac {\mathrm {d} S_{j}\cos \theta _{j}}{r_{ij}^{2}}}}$ est l'angle solide sous lequel on voit ${\displaystyle \mathrm {d} S_{j}}$ depuis ${\displaystyle \mathrm {d} S_{i}}$.

Par suite on peut écrire

${\displaystyle \mathrm {d} M_{\nu _{j}}=L_{\nu _{i}}f_{ij}\,\mathrm {d} S_{i}\,\mathrm {d} S_{j}}$

avec

${\displaystyle f_{ij}={\frac {\cos \theta _{i}\cos \theta _{j}}{r_{ij}^{2}}}}$

Cette quantité caractérise entièrement la géométrie de manière immédiatement utilisable pour le calcul des échanges radiatifs.

On a par symétrie ${\displaystyle f_{ji}=f_{ij}}$. Par convention ${\displaystyle f_{ii}=0}$ (l'interprétation physique est évidente).

Soient ${\displaystyle S_{i},S_{j}}$ des surfaces quelconques.

Le flux spectral reçu de la surface ${\displaystyle S_{i}}$ par la surface ${\displaystyle S_{j}}$ s'écrit

${\displaystyle M_{\nu _{j}}=\int _{S_{i}}L_{\nu _{i}}\int _{S_{j}}f_{ij}\,\mathrm {d} S_{j}\,\mathrm {d} S_{i}}$

Si l'émission est isotrope la loi de Lambert permet d'écrire le flux spectral sous la forme ${\displaystyle M_{\nu _{i}}=\pi L_{\nu _{i}}}$. Si de plus on considère cette quantité constante sur la surface ${\displaystyle S_{i}}$ on a

${\displaystyle M_{\nu _{j}}={\frac {M_{\nu _{i}}}{\pi }}\int _{S_{i}}\int _{S_{j}}f_{ij}\,\mathrm {d} S_{j}\,\mathrm {d} S_{i}=M_{\nu _{i}}S_{i}F_{ij}}$

où

${\displaystyle F_{ij}={\frac {1}{\pi S_{i}}}\int _{S_{i}}\int _{S_{j}}f_{ij}\,\mathrm {d} S_{j}\,\mathrm {d} S_{i}}$

est appelé facteur de forme (en anglais "view factor"). Il représente la fraction de l'énergie émise par ${\displaystyle S_{i}}$ arrivant sur ${\displaystyle S_{j}}$.

Du fait des hypothèses faites, cette notion n'est valide que dans un domaine limité. Elle a dans ce domaine l'avantage de permettre des calculs analytiques sur un grand nombre de configurations géométriques simples[2]^,[4].

• ${\displaystyle F_{ii}=0}$ dans le cas de géométries planes ou convexes mais ${\displaystyle F_{ii}>0}$ pour une partie concave.
• Puisque ${\displaystyle f_{ji}=f_{ij}}$ on déduit de l'expression ci-dessus un principe de réciprocité

${\displaystyle S_{j}F_{ji}=S_{i}F_{ij}}$

• De la définition on déduit très facilement une relation d'additivité utilisable pour les géométries simples[2]

${\displaystyle F_{i(j+k)}=F_{ij}+F_{ik}}$

Quel que soit le mode de description d'une surface, celle-ci dépend de deux variables. L'expression du facteur de forme ci-dessus est donc une intégrale quadruple. On peut réduire cette dimension en utilisant le théorème de Stokes. Soient ${\displaystyle (C_{i},C_{j})}$ les contours de ${\displaystyle (S_{i},S_{j})}$, ${\displaystyle (\mathrm {d} c_{i},\mathrm {d} c_{j})}$ les éléments de ces lignes et ${\displaystyle c_{ij}}$ la distance entre ces éléments, alors le facteur de forme s'écrit comme une intégrale de bord[2]

${\displaystyle F_{ij}={\frac {1}{2\pi S_{i}}}\int _{C_{i}}\int _{C_{j}}\log c_{ij}\,\mathrm {d} c_{j}\,\mathrm {d} c_{i}}$

On a réduit l'expression à une intégrale double dont le calcul est plus simple.