Statistique de Bose-Einstein

La statistique de Bose-Einstein a été introduite par Satyendranath Bose en 1920 pour les photons et généralisée aux atomes par Albert Einstein en 1924. Statistiquement, à l'équilibre thermodynamique, le nombre n_i de particules d'énergie E_i est

${\displaystyle n_{i}={\frac {g_{i}}{\exp \left({\frac {E_{i}-\mu }{k_{\rm {B}}T}}\right)-1}}\,}$

où :

• g_i est la dégénérescence du niveau d'énergie E_i, à savoir le nombre d'états possédant cette énergie ;
• μ est le potentiel chimique ;
• k_B est la constante de Boltzmann ;
• T est la température.

L'entropie d'un système constitué par des bosons indiscernables, décrits par des fonctions d'onde symétriques (spin entier), peut être trouvée en utilisant la description statistique due à J. Willard Gibbs[1]. Elle vaut

${\displaystyle S=k_{\rm {B}}\sum _{j}G_{j}\left[(1+n_{j})\log {(1+n_{j})}-n_{j}\log n_{j}\right]}$

où

Dans l'ensemble microcanonique, les variables thermodynamiques à l’équilibre sont obtenus par maximisation de l'entropie sous contrainte de respecter le nombre total de bosons ${\displaystyle N=\sum _{i}G_{i}n_{i}}$  et l'énergie totale  ${\displaystyle E=\sum _{i}n_{i}G_{i}E_{i}}$. En utilisant la méthode des multiplicateurs de Lagrange, α pour le nombre de particules et β pour l'énergie, la solution vérifie

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial n_{j}}}\left(S-\alpha N-\beta E\right)=0\,,\qquad \forall j}$

La solution de ce système d'équations indépendantes est la distribution statistique de Bose-Einstein

${\displaystyle n_{j}={\frac {1}{\mathrm {e} ^{\alpha +\beta E_{j}}-1}}}$

On peut retrouver les valeurs de α et β à partir du premier principe de la thermodynamique. Donc, α = –μ β et β = (k_BT)^-1.

À haute température, lorsque les effets quantiques ne se font plus sentir, la statistique de Bose-Einstein, comme la statistique de Fermi-Dirac qui régit les fermions, tend vers la statistique de Maxwell-Boltzmann. Aux basses températures, cependant, les deux statistiques diffèrent entre elles. Ainsi, à température nulle :

• avec la statistique de Bose-Einstein, le niveau de plus basse énergie contient tous les bosons;
• avec la statistique de Fermi-Dirac, les niveaux de plus basse énergie contiennent chacun au plus g_i fermions.

Comme vu précédemment, la statistique de Bose-Einstein prévoit qu'à température nulle, toutes les particules occupent le même état quantique, celui de plus basse énergie. Ce phénomène est observable à l'échelle macroscopique et constitue un condensat de Bose-Einstein.

• Cet article est partiellement ou en totalité issu de l'article intitulé « Entropie (bosons) » (voir la liste des auteurs).