Complémentaire (théorie des ensembles)

Lorsque ${\displaystyle E}$ est un ensemble fini, la somme des cardinaux de ${\displaystyle A}$ et ${\displaystyle A^{C}}$ est égale au cardinal de ${\displaystyle E}$ :

${\displaystyle {\text{card}}\left(A\right)+{\text{card}}\left(A^{C}\right)={\text{card}}\left(E\right)}$.

D'où on déduit :

${\displaystyle {\text{card}}\left(A^{C}\right)={\text{card}}\left(E\right)-{\text{card}}\left(A\right)}$.

Exemple

Pour dénombrer les absents dans une assemblée prévue de cinquante personnes, il suffit de compter les présents. En effet, l'ensemble des personnes absentes est le complémentaire de celui des personnes présentes. Si 47 personnes sont présentes, alors il y a 50 - 47 = 3 absents.

Le complémentaire de ${\displaystyle A\cup B}$ est grisé.

L'ensemble dans lequel on travaille est noté ${\displaystyle E}$. ${\displaystyle A}$ et ${\displaystyle B}$ sont des sous-ensembles de ${\displaystyle E}$.

• ${\displaystyle E^{C}=\varnothing }$.
• ${\displaystyle {\varnothing }^{C}=E}$.
• Un élément de ${\displaystyle E}$ ne peut être à la fois dans ${\displaystyle A}$ et dans son complémentaire ${\displaystyle A^{C}}$, un ensemble et son complémentaire sont donc des ensembles disjoints :

${\displaystyle A\cap A^{C}=\varnothing }$

• Tout élément de ${\displaystyle E}$ est dans ${\displaystyle A}$ ou dans le complémentaire ${\displaystyle A^{C}}$ de ${\displaystyle A}$ :

${\displaystyle A\cup A^{C}=E}$

• Le complémentaire du complémentaire d'un ensemble est cet ensemble lui-même (l'application « le complémentaire de... » est une involution) :

${\displaystyle ({{A}^{C}})^{C}=A}$.

• Lois de De Morgan ou Dualité :
  • Le complémentaire de l'union de deux ensembles est l'intersection de leurs complémentaires :
    ${\displaystyle ({A\cup B})^{C}=A^{C}\cap B^{C}}$.
  • Le complémentaire de l'intersection de deux ensembles est l'union de leurs complémentaires :
    ${\displaystyle ({A\cap B})^{C}=A^{C}\cup B^{C}}$.

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