Système duodécimal

Exemples de notations[6]

• 12₁₂ = 14₁₀ (en effet, 1×12 + 2)
• 26₁₂ = 30₁₀ (en effet, 2×12 + 6)
• 30₁₂ = 36₁₀ = 100₆ (en effet, 3×12)
• 50₁₂ = 60₁₀ (en effet, 5×12)
• 69₁₂ = 81₁₀ (en effet, 6×12 + 9)
• 76₁₂ = 90₁₀ (en effet, 7×12 + 6)
• 85₁₂ = 101₁₀ (en effet, 8×12 + 5)
• 100₁₂ = 144₁₀ (en effet, 1×12²)
• 160₁₂ = 216₁₀ = 1000₆ (en effet, 1×12² + 6×12¹)
• 1A6₁₂ = 270₁₀ (en effet, 1×12² + 10×12¹ + 6)
• 265₁₂ = 365₁₀ (en effet, 2×12² + 6×12¹ + 5)
• 294₁₂ = 400₁₀ = 100₂₀ (en effet, 2×12² + 9×12¹ + 4)
• 400₁₂ = 576₁₀ (en effet, 4×12²)
• 576₁₂ = 810₁₀ (en effet, 5×12² + 7×12¹ + 6)
• 6B4₁₂ = 1000₁₀ (en effet, 6×12² + 11×12¹ + 4)
• 900₁₂ = 1296₁₀ = 10000₆ (en effet, 9×12²)
• 1000₁₂ = 1728₁₀ (en effet, 1×12³)
• 11A8₁₂ = 2000₁₀ (en effet, 1×12³ + 1×12² + 10×12¹ + 8)
• 2454₁₂ = 4096₁₀ = 1000₁₆ (en effet, 2×12³ + 4×12² + 5×12¹ + 4)
• 3969₁₂ = 6561₁₀ = 10000₉ (en effet, 3×12³ + 9×12² + 6×12¹ + 9)
• 4600₁₂ = 7776₁₀ = 100000₆ (en effet, 4×12³ + 6×12²)
• 4768₁₂ = 8000₁₀ = 1000₂₀ (en effet, 4×12³ + 7×12² + 6×12¹ + 8)
• 5000₁₂ = 8640₁₀ (en effet, 5×12³)
• 789A₁₂ = 13366₁₀ (en effet, 7×12³ + 8×12² + 9×12¹ + 10)
• 10000₁₂ = 20736₁₀ (en effet, 1×12⁴)
• 23000₁₂ = 46656₁₀ = 1000000₆ (en effet, 2×12⁴ + 3×12³)

• Sénaire : 10 = 2×3
• Décimal : 10 = 2×5
• Duodécimal : 10 = 4×3 = 2²×3
• Vicésimal : 10 = 4×5 = 2²×5

La différence entre le nombre duodécimal et le nombre "décimal ou sénaire" est que 10 comprend 2 à la 2ème puissance. Des phénomènes tels que similaires se produisent également en vicésimal et octodécimal.

En système décimal (= 2 × 5), les fractions dont les dénominateurs sont constitués de multiples de 2 ou 5 sont finies :

${\displaystyle {\frac {1}{8}}={\frac {1}{2\times 2\times 2}}}$,

${\displaystyle {\frac {1}{20}}={\frac {1}{2\times 2\times 5}}}$,

et

${\displaystyle {\frac {1}{500}}}$ = ${\displaystyle {\frac {1}{2^{2}\times 5^{3}}}\,}$

peuvent être exprimées exactement avec un nombre fini de chiffres après la virgule comme "0,125", "0,05" et "0,002" respectivement. Cependant,

${\displaystyle {\frac {1}{3}}}$ et ${\displaystyle {\frac {1}{7}}}$

donnent les répétitions 0,333... et 0,142857 142857...

En système sénaire (= 2 × 3), les fractions dont les dénominateurs sont constitués de multiples de 2 ou 3 sont finies :

${\displaystyle {\frac {1}{12}}={\frac {1}{2\times 2\times 2}}}$,

${\displaystyle {\frac {1}{20}}={\frac {1}{2\times 2\times 3}}}$,

et

${\displaystyle {\frac {1}{300}}}$ = ${\displaystyle {\frac {1}{2^{2}\times 3^{3}}}\,}$

peuvent être exprimées exactement avec un nombre fini de chiffres après la virgule comme "0,043", "0,03" et "0,002" respectivement. Cependant,

${\displaystyle {\frac {1}{5}}}$ et ${\displaystyle {\frac {1}{11}}}$

donnent les répétitions 0,111... et 0,05 05...

En système duodécimal (= 2×2×3) :

1 / 8 s'exprime exactement avec un nombre fini de chiffres après la virgule comme "0,16".

1 / 18 (décimal 1 / 20) et 1 / 358 (décimal 1 / 500) nécessitent une répétition périodique de chiffres après la virgule parce que leurs dénominateurs incluent 5 dans leur décomposition ;

1 / 3, 1 / 10 (sénaire 1 / 20) et 1 / 90 (sénaire 1 / 300) s'exprime exactement avec un nombre fini de chiffres après la virgule comme "0,4", "0,1" et "0,014".

1 / 7 nécessite une répétition périodique de chiffres après la virgule, comme en décimal et sénaire.

Dans duodécimal 1/8 est de "0,16", le numérateur est un nombre pair. Le système décimal est "2 à la 3ème puissance" pour "5 à la 3ème puissance", le système sénaire est "2 à la 3ème puissance" pour "3 à la 3ème puissance", les facteurs premiers ont une relation un à un. Mais le système duodécimal, lorsque la puissance de 2 est impaire, le numérateur est un multiple de 6.

On peut arguer que les facteurs de 3 sont plus facilement rencontrés dans la vraie vie que ceux de 5 lors des divisions. Mais en pratique, la gêne occasionnée par la périodicité des fractions est moins courante lorsque le système duodécimal est utilisé.

Cela est particulièrement vrai dans les calculs financiers, lorsque les douze mois de l'année entrent en ligne de compte dans les calculs. Bien que 1/3 et 1/9 soient divisibles, le système duodécimal est moins pratique que le sénaire lorsque nous divisons par de grandes puissances de trois. Par exemple, le chiffre approximatif de annuel (2/3⁶. 2/3213 sénaire ou 2/509 duodécimal) est 0,000332 en sénaire (332 / 1.000.000 → 332 = 2¹¹ en sénaire = 2⁷), mais 0,0048A8 en duodécimal (101.532 / 144.000.000 → 101.532 = 2²¹ en sénaire = 2¹¹ en duodécimal).