Demi-groupe bicyclique

Le demi-groupe bicyclique est le quotient du demi-groupe libre sur deux générateurs ${\displaystyle p}$ et ${\displaystyle q}$, par la congruence engendré par la relation ${\displaystyle pq=1}$. En d'autre termes, tout élément du demi-groupe est un mot sur ${\displaystyle p}$ et ${\displaystyle q}$, avec la condition que le facteur ${\displaystyle pq}$ n'apparaît pas dans le mot. L'opération du demi-groupe est la concaténation de mots, suivie d'une réduction par la relation si nécessaire ; elle est clairement associative. On peut montrer que tout élément de ${\displaystyle B}$ est en fait de la forme ${\displaystyle q^{a}p^{b}}$, pour des entiers naturels ${\displaystyle a}$ et ${\displaystyle b}$. L'opération de composition admet alors l'expression :

${\displaystyle (q^{a}p^{b})(q^{c}p^{d})=q^{a-b+\max(b,c)}p^{d-c+\max(b,c)}}$.

Dans la construction précédente, l'opération s'exprime sur les exposants des éléments. Ceci suggère que les symboles ${\displaystyle p}$ et ${\displaystyle q}$ peuvent être omis, ne laissant subsister que les opérations sur les exposants ${\displaystyle a}$ et ${\displaystyle b}$. Ainsi, ${\displaystyle B}$ s'identifie à l'ensemble des couples d'entiers naturels (y compris zéro) avec l'opération suivante[5] :

${\displaystyle (a,b)(c,d)=(a-b+\max(b,c),d-c+\max(b,c))}$.

Ceci définit ${\displaystyle B}$, comme dans la première construction, sauf qu'ici, ${\displaystyle B}$ a les deux générateurs ${\displaystyle (1,0)}$ et ${\displaystyle (0,1)}$, et l'élément neutre ${\displaystyle (0,0)}$.

Si trois éléments ${\displaystyle p}$, ${\displaystyle q}$ et ${\displaystyle e}$ d'un demi-groupe ${\displaystyle S}$ vérifient les conditions suivantes:

1. ${\displaystyle pe=ep=p}$
2. ${\displaystyle qe=eq=q}$
3. ${\displaystyle pq=e}$
4. ${\displaystyle qp\neq e}$

alors le demi-groupe engendré par ${\displaystyle p}$ et ${\displaystyle q}$ est isomorphe au demi-groupe bicyclique[6].

La preuve demande des vérifications. Par exemple, prouvons que tous les ${\displaystyle p^{k}}$ sont distincts. Pour cela, supposons que ${\displaystyle p^{k}+h=p^{h}}$ pour un ${\displaystyle h>1}$. Alors ${\displaystyle p^{k}=e}$ par multiplication à droite par ${\displaystyle q^{h}}$. Il en résulte que

${\displaystyle q=eq=p^{k}q=p^{k-1}e=p^{k-1}}$,

et donc

${\displaystyle qp=p^{k}=e}$

contrairement aux conditions. La preuve complète figure dans le livre de Clifford et Preston[7].

Soient ${\displaystyle p}$, ${\displaystyle q}$, et ${\displaystyle e}$ les trois éléments du demi-groupe des applications des entiers naturels dans eux-mêmes définies

• ${\displaystyle e(n)=n}$
• ${\displaystyle p(n)=n+1+1}$
• ${\displaystyle q(0)=0}$ et ${\displaystyle q(n)=n-1}$ pour ${\displaystyle n>0}$.

Le demi-groupe engendré par ces trois fonctions vérifie les conditions de la caractérisation donnée ci-dessus, donc engendre le demi-groupe bicyclique.

• Classes particulières de demi-groupes (en)

• (en) Alfred H. Clifford et Gordon B. Preston, The algebraic theory of semigroups, Providence, R.I., American Mathematical Society, coll. « Mathematical Surveys » (n^o 7), 1961, 224 p. (ISBN 978-0-8218-0271-7, lire en ligne)

• (en) Pierre Antoine Grillet, Semigroups : An introduction to the structure theory, New York, Marcel Dekker, coll. « Monographs and Textbooks in Pure and Applied Mathematics » (n^o 193), 1995, xii+398 p. (ISBN 0-8247-9662-4, Math Reviews 2000g:20001)

• (en) John M. Howie, Fundamentals of semigroup theory, Oxford, Oxford University Press, coll. « London Mathematical Society Monographs. New Series » (n^o 12), 1995, x+351 p. (ISBN 0-19-851194-9, Math Reviews 1455373)
• (ru) Evgenii Sergeevich Lyapin, « Canonical form of elements of an associative system given by defining relations », Leningrad. Gos. Ped. Inst. Uč. Zap., vol. 89,‎ 1953, p. 45-54 (Math Reviews 0076775)

• (en) Christopher D. Hollings, « Some First Tantalizing Steps into Semigroup Theory », Mathematics Magazine, vol. 80,‎ 2007, p. 331–344 (JSTOR 27643058)

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