Cube de Hilbert

En topologie, on appelle cube de Hilbert l'espace produit ${\displaystyle K=\left[0,1\right]^{\mathbb {N} }}$ muni de la topologie produit, autrement dit : l'espace des suites à valeurs dans [0, 1], muni de la topologie de la convergence simple. D'après le théorème de Tykhonov, c'est un espace compact.

Il est homéomorphe à ${\displaystyle \left[0,1\right]\times \left[0,{\frac {1}{2}}\right]\times \left[0,{\frac {1}{3}}\right]\times \cdots }$, l'espace des suites ${\displaystyle x=\left(x_{n}\right)_{n\in \mathbb {N} }}$ telles que ${\displaystyle \forall n,\;0\leq x_{n}\leq {\frac {1}{n}}}$, muni de la distance :

${\displaystyle d\left(x,y\right)={\sqrt {\sum _{n=0}^{\infty }\left(x_{n}-y_{n}\right)^{2}}}.}$

Il est donc métrisable et par conséquent, (puisqu'il est compact), séparable[1] et possède la propriété suivante[2] :

Tout espace métrisable et séparable[3] est homéomorphe à un sous-espace de K.

Cela fournit en particulier un moyen commode pour compactifier les espaces métrisables séparables, et aussi un critère pour les classifier selon leur complexité ; par exemple un espace est polonais si et seulement s'il est homéomorphe à l'intersection d'une suite d'ouverts de K. On en déduit aussi que tout espace mesurable dénombrablement engendré et séparé est isomorphe à une partie de K munie de la tribu induite par la tribu borélienne de K.