Corps de fonctions

Soit ${\displaystyle K}$ un corps. Le corps des fractions rationnelles à une variable ${\displaystyle K(x)}$ est un corps de fonctions sur ${\displaystyle K}$.

Soit ${\displaystyle F/K}$ un corps de fonctions. L'ensemble des éléments de ${\displaystyle F}$ algébriques sur ${\displaystyle K}$ est un corps, appelé corps des constantes.

Par exemple, ${\displaystyle \mathbb {C} (x)}$ est un corps de fonctions sur ${\displaystyle \mathbb {R} }$, son corps des constantes est ${\displaystyle \mathbb {C} }$ .

Étant donné un corps de fonctions ${\displaystyle F/K}$ d'une variable. On définit la notion d' anneau de valuation de ${\displaystyle F/K}$. C'est un sous anneau ${\displaystyle {\mathcal {O}}}$ de ${\displaystyle F}$ qui contient ${\displaystyle K}$, mais distincts de ces deux corps, et tel que

${\displaystyle \forall x\in F\quad x\in {\mathcal {O}}{\text{ ou }}x^{-1}\in {\mathcal {O}}}$

• ${\displaystyle {\mathcal {O}}}$ est un anneau local.

Corps de fonctions (théorie des schémas) (en)

• Portail de l’algèbre