Constante gravitationnelle de Gauss

Soit un objet du Système solaire de masse ${\displaystyle m}$ en révolution autour du Soleil de masse ${\displaystyle Ms}$ égale à une masse solaire.

Considérons que ${\displaystyle m}$ est très inférieur à ${\displaystyle Ms}$ de sorte de ${\displaystyle m}$ soit négligeable devant ${\displaystyle Ms}$.

L'objet de masse ${\displaystyle m}$ décrit une orbite elliptique de demi-grand axe ${\displaystyle a}$.

Le moyen mouvement ${\displaystyle n}$ de l'objet de masse ${\displaystyle m}$ est donné par : ${\displaystyle n={\sqrt {\frac {\mu }{a^{3}}}}}$, avec ${\displaystyle \mu =GMs}$.

Considérons que Ms = 1 et que a = 1.

La constante a été proposée par Carl Friedrich Gauss en 1809 dans : Theoria motus corporum coelestium in sectionibus conicis solem ambientum ⇒ « Théorie du mouvement des corps célestes parcourant des sections coniques autour du Soleil »[2]. La découverte de Cérès en avait déjà démontré l'utilité pour la prédiction des mouvements dans le système solaire en 1801 [3].

Notation

La constante de Gauss est couramment notée ${\displaystyle k}$, correspondant à la lettre K minuscule de l'alphabet latin, initiale de l'allemand Konstante (constante).

Expression

Elle est définie comme la racine carrée du paramètre de masse solaire, paramètre appelé précédemment constante héliocentrique de la gravitation et égal au produit de la constante de gravitation ${\displaystyle G}$ par la masse solaire ${\displaystyle M_{\mathrm {S} }}$ :

${\displaystyle k={\sqrt {GM_{\mathrm {S} }}}}$

Les valeurs recommandées du paramètre de masse solaires sont :

• ${\displaystyle GM_{\mathrm {S} }=1{,}327\,124\,420\,99\times 10^{20}\;(\pm \;1\times 10^{10})\;{\rm {m^{3}\cdot s^{-2}}}}$
• ${\displaystyle GM_{\mathrm {S} }=1{,}327\,124\,400\,41\times 10^{20}\;(\pm \;1\times 10^{10})\;{\rm {m^{3}\cdot s^{-2}}}}$

Dimension et unité

La dimension du carré de la constante de Gauss est celle de la constante de gravitation :

${\displaystyle [k^{2}]=[G]=\mathrm {L^{3}\;M^{-1}\;T^{-2}} }$,

où ${\displaystyle [k^{2}]}$ et ${\displaystyle [G]}$ sont la dimension du carré de la constante de Gauss et celle de la constante de gravitation.

La dimension de la constante de Gauss est celle de la vitesse angulaire ou pulsation :

${\displaystyle [k]=\mathrm {T^{-1}} \cdot 1}$

où ${\displaystyle \mathrm {T^{-1}} }$ est la dimension d'une vitesse et ${\displaystyle 1}$ exprime l'angle plan, grandeur adimensionnelle.

Bien que, dans le Système international d'unités, l'unité dérivée pour la vitesse angulaire, ou pulsation, soit le radian par seconde, la constante de Gauss est exprimée en radian par jour.

Valeur

Dans le système astronomique d'unités, la constante associée au Système solaire vaut :

${\displaystyle k=0{,}017\,202\,098\,95\;A^{\frac {3}{2}}\;D^{-1}\ S^{-{\frac {1}{2}}}}$

avec :

• ${\displaystyle {A}}$ l'unité astronomique,
• ${\displaystyle {D}}$ le jour solaire moyen,
• ${\displaystyle {S}}$ la masse solaire.

Si, à la place du jour solaire moyen, on utilise l'année sidérale comme unité de temps, la valeur de ${\displaystyle k}$ est alors très proche de ${\displaystyle 2\pi }$.

Cette valeur de 0,017 202 098 95, calculée par Gauss[2], est encore en usage.

• Constante gravitationnelle