Constante de Niven

En mathématiques, et plus précisément en théorie des nombres, la constante deNiven, d'après Ivan Niven, est la moyenne du plus grand exposant apparaissant dans la factorisation en facteurs premiers d'un entier n. Plus précisément, on définit H(1) = 1 et ${\displaystyle H(n)=\max _{p|n}v_{p}(n)}$ le plus grand exposant dans l'unique décomposition en facteurs premiers de n > 1, alors la constante de Niven est définie par

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}\sum _{j=1}^{n}H(j)=1+\sum _{k=2}^{\infty }\left(1-{\frac {1}{\zeta (k)}}\right)=1.705211\dots }$

où ζ(k) est la fonction zeta de Riemann au point k.[1]

Niven a montré dans le même papier que

${\displaystyle \sum _{j=1}^{n}h(j)=n+c{\sqrt {n}}+o({\sqrt {n}})}$

où h(1) = 1, h(n) le plus grand exposant dans l'unique décomposition en facteurs premiers de n > 1, et la constante c est donnée par

${\displaystyle c={\frac {\zeta ({\frac {3}{2}})}{\zeta (3)}},}$

par conséquent

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}\sum _{j=1}^{n}h(j)=1.}$