Constante de Lebesgue (approximation)

On se place, sans perte de généralité, sur l'intervalle [–π, π]. On considère une fonction f intégrable sur cet intervalle, et la somme partielle d'ordre n de sa série de Fourier :

${\displaystyle S_{n}(f,x)={\frac {1}{2}}a_{0}+\sum _{k=1}^{n}(a_{k}\cos(kx)+b_{k}\sin(kx))}$

avec

${\displaystyle a_{k}={\frac {1}{\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(t)\cos(kt)\,\mathrm {d} t\quad {\text{et}}\quad b_{k}={\frac {1}{\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(t)\sin(kt)\,\mathrm {d} t}$.

Si, pour tout t réel, |f(t)| ≤ 1, alors :

${\displaystyle |S_{n}(f,x)|\leqslant {\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\pi }{\frac {|\sin \left((2n+1)t/2\right)|}{\sin(t/2)}}\,\mathrm {d} t=\rho _{n}}$.

C'est cette valeur ρ_n qui est appelée la n-ième constante de Lebesgue.

On peut également calculer les constantes par une formule de Fejér[1] :

${\displaystyle \rho _{n}={\frac {1}{2n+1}}+{\frac {2}{\pi }}\sum _{m=1}^{n}{\frac {1}{m}}\tan {\frac {m\pi }{2n+1}}}$.

Cette constante est optimale si f est continue.

Les trois premières valeurs des constantes de Lebesgue sont[2] :

• ${\displaystyle \rho _{0}=1}$ ;
• ${\displaystyle \rho _{1}={\frac {1}{3}}+{\frac {2{\sqrt {3}}}{\pi }}\approx 1{,}435991}$ (suite A226654 de l'OEIS) ;
• ${\displaystyle \rho _{2}={\frac {1}{5}}+{\frac {\sqrt {25-2{\sqrt {5}}}}{\pi }}\approx 1{,}642188}$ ( A226655).

On sait que[2] :

${\displaystyle \rho _{n}={\frac {4}{\pi ^{2}}}\ln(2n+1)+c+o(1)}$ avec

${\displaystyle c={\frac {4}{\pi ^{2}}}\!\left(\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {2\ln k}{4k^{2}-1}}-{\frac {\Gamma '(1/2)}{\Gamma (1/2)}}\right)\approx 0{,}989433}$ ( A243277), où Γ est la fonction gamma.

Noyau de Dirichlet

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